Memo Derivees
Toutes les formules de derivation a connaitre par coeur pour le Bac.
L'essentiel a retenir
La derivee mesure la vitesse de variation d'une fonction
f'(a) = coefficient directeur de la tangente en a
Equation de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a)
Si f' > 0, f est croissante ; si f' < 0, f est decroissante
Un extremum local est atteint quand f' s'annule et change de signe
Formules a connaitre
Constante
(k)' = 0
La derivee d'une constante est nulle
Identite
(x)' = 1
La derivee de x est 1
Puissance
(x^n)' = n.x^(n-1)
Multiplier par l'exposant, reduire l'exposant de 1
Racine
(sqrt(x))' = 1/(2.sqrt(x))
Pour x > 0
Inverse
(1/x)' = -1/x^2
Pour x different de 0
Exponentielle
(e^x)' = e^x
La seule fonction egale a sa derivee
Logarithme
(ln x)' = 1/x
Pour x > 0
Sinus
(sin x)' = cos x
Cosinus
(cos x)' = -sin x
Attention au signe moins
Somme
(u + v)' = u' + v'
On derive terme a terme
Produit
(u.v)' = u'.v + u.v'
Derivee du 1er fois le 2nd + 1er fois derivee du 2nd
Quotient
(u/v)' = (u'.v - u.v')/v^2
Attention a l'ordre dans la soustraction
Composee
(g o f)' = f' . (g' o f)
Derivee de l'interieur fois derivee de l'exterieur
e^u
(e^u)' = u'.e^u
Derivee de l'exposant fois l'exponentielle
ln u
(ln u)' = u'/u
Derivee de l'argument sur l'argument
Exemples d'application
Derivee de f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7
f'(x) = 12x^3 - 4x + 5. On applique la regle de la puissance a chaque terme.
Derivee de f(x) = x^2.e^x
Regle du produit : f'(x) = 2x.e^x + x^2.e^x = e^x(2x + x^2) = x.e^x(2 + x).
Derivee de f(x) = e^(2x+1)
Fonction composee : u(x) = 2x+1, u'(x) = 2. Donc f'(x) = 2.e^(2x+1).
Astuce pour memoriser
Pour ne pas oublier la formule du quotient, retenez "derivee du haut fois le bas moins le haut fois derivee du bas, le tout sur le carre du bas".
Pieges a eviter
(u.v)' different de u'.v' (erreur frequente !)
Dans (u/v)', c'est u'.v - u.v' (pas + !)
Ne pas oublier la chaine dans les fonctions composees
(e^x)' = e^x, pas x.e^(x-1)
