Memo Exponentielle et Logarithme
Proprietes fondamentales de exp et ln, equations et inequations.
L'essentiel a retenir
exp et ln sont des fonctions reciproques : ln(e^x) = x et e^(ln x) = x
e^x > 0 pour tout x (jamais negatif ou nul)
ln est defini uniquement pour x > 0
exp est croissante sur R, ln est croissante sur ]0, +inf[
Formules a connaitre
Propriete fondamentale exp
e^(a+b) = e^a.e^b
L'expo transforme + en x
Quotient exp
e^(a-b) = e^a/e^b
Puissance exp
(e^a)^n = e^(na)
Inverse exp
e^(-a) = 1/e^a
Propriete fondamentale ln
ln(ab) = ln a + ln b
Le ln transforme x en +
Quotient ln
ln(a/b) = ln a - ln b
Puissance ln
ln(a^n) = n.ln a
Limites exp
lim e^x = +inf (x->+inf), lim e^x = 0 (x->-inf)
Limites ln
lim ln x = +inf (x->+inf), lim ln x = -inf (x->0+)
Croissance comparee
lim x^n/e^x = 0 (x->+inf)
exp l'emporte sur tout polynome
Croissance comparee
lim ln x/x = 0 (x->+inf)
x l'emporte sur ln
Exemples d'application
Simplification
e^3 x e^(-2) = e^(3-2) = e^1 = e. Et ln(8) = ln(2^3) = 3.ln(2).
Equation exponentielle
e^(2x-1) = e^5. Comme exp est bijective : 2x - 1 = 5, donc x = 3.
Equation logarithmique
ln(x+1) = 2. Donc x + 1 = e^2, et x = e^2 - 1.
Astuce pour memoriser
Pour resoudre une equation ou inequation avec exp : isoler l'exponentielle, puis utiliser ln des deux cotes. Pour ln : isoler le ln, puis utiliser exp.
Pieges a eviter
e^(a+b) different de e^a + e^b (erreur tres courante !)
ln(a+b) different de ln a + ln b
ln n'est defini que pour les nombres strictement positifs
e^x n'est jamais nul ni negatif
