Memo Geometrie dans l'Espace
Vecteurs, droites, plans et produit scalaire dans l'espace.
L'essentiel a retenir
Un plan est determine par 3 points non alignes ou 1 point + 2 vecteurs non colineaires
Deux droites de l'espace peuvent etre paralleles, secantes ou non coplanaires
Le produit scalaire permet de calculer des angles et des distances
Un vecteur normal a un plan est orthogonal a tous les vecteurs de ce plan
Formules a connaitre
Produit scalaire
u.v = x.x' + y.y' + z.z'
Dans un repere orthonorme
Produit scalaire (angles)
u.v = ||u||.||v||.cos(theta)
theta = angle entre u et v
Norme d'un vecteur
||u|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
Orthogonalite
u perp v ssi u.v = 0
Equation cartesienne plan
ax + by + cz + d = 0
n(a,b,c) est normal au plan
Equation parametrique droite
M = A + t.u
A point, u vecteur directeur
Distance point-plan
d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a^2+b^2+c^2)
Exemples d'application
Produit scalaire
u(2, -1, 3) et v(1, 4, -2). u.v = 2x1 + (-1)x4 + 3x(-2) = 2 - 4 - 6 = -8.
Equation de plan
Le plan passant par A(1,2,3) de vecteur normal n(2,-1,1) a pour equation : 2(x-1) - (y-2) + (z-3) = 0, soit 2x - y + z - 3 = 0.
Parallelisme
Deux droites sont paralleles si leurs vecteurs directeurs sont colineaires. Deux plans sont paralleles si leurs vecteurs normaux sont colineaires.
Astuce pour memoriser
Pour trouver l'equation d'un plan, cherchez d'abord un vecteur normal. Si vous avez 3 points A, B, C, le vecteur AB x AC (produit vectoriel) est normal au plan ABC.
Pieges a eviter
Deux droites non paralleles ne sont pas forcement secantes dans l'espace
Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur
Un vecteur normal n'est pas dans le plan, il est perpendiculaire
Les coordonnees d'un vecteur AB sont (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
