Memo Suites
Formules des suites arithmetiques et geometriques, limites et raisonnement par recurrence.
L'essentiel a retenir
Suite arithmetique : on ajoute toujours la meme valeur (raison r)
Suite geometrique : on multiplie toujours par la meme valeur (raison q)
Le raisonnement par recurrence permet de demontrer une propriete pour tout entier n
Une suite croissante majoree converge (theoreme fondamental)
Formules a connaitre
Suite arithmetique
u(n) = u(0) + n.r
r = raison = u(n+1) - u(n)
Suite geometrique
u(n) = u(0).q^n
q = raison = u(n+1)/u(n)
Somme arithmetique
S = (n+1).(u(0)+u(n))/2
Somme des n+1 premiers termes
Somme 1+2+...+n
n(n+1)/2
Somme des n premiers entiers
Somme geometrique
S = u(0).(1-q^(n+1))/(1-q)
Pour q different de 1
Somme 1+q+q^2+...+q^n
(1-q^(n+1))/(1-q)
Formule fondamentale
Limite q^n
0 si |q| < 1, +inf si q > 1
Base des limites de suites geo
Exemples d'application
Suite arithmetique
u(0) = 5, r = 3. Alors u(n) = 5 + 3n. Pour n=10 : u(10) = 5 + 30 = 35.
Suite geometrique
u(0) = 2, q = 0.5. Alors u(n) = 2 x (0.5)^n. La suite tend vers 0 car |q| < 1.
Recurrence
Pour montrer que pour tout n >= 1, 2^n >= n+1 : Init (n=1) : 2 >= 2 OK. Heredite : si 2^k >= k+1, alors 2^(k+1) = 2 x 2^k >= 2(k+1) >= k+2.
Astuce pour memoriser
Pour savoir si une suite est arithmetique ou geometrique : calculez u(n+1) - u(n). Si c'est constant, c'est arithmetique. Calculez u(n+1)/u(n). Si c'est constant, c'est geometrique.
Pieges a eviter
u(n) = u(0) + nr, pas u(1) + nr (attention a l'indice de depart)
Dans la somme geometrique, le denominateur est 1-q, pas q-1
Ne pas oublier l'initialisation dans une recurrence
Verifier que la propriete est hereditaire, pas juste vraie pour quelques valeurs
