La Fonction Exponentielle
Proprietes de la fonction exponentielle, equations et inequations exponentielles.
Points cles a retenir
Propriete fondamentale : e^(a+b) = e^a x e^b
La fonction exp est strictement croissante sur R
exp(0) = 1, exp(1) = e = 2.718...
Pour tout x, e^x > 0
Derivee : (e^x)' = e^x, (e^(u))' = u' x e^(u)
Limite : lim e^x = +inf quand x -> +inf, lim e^x = 0 quand x -> -inf
Formules essentielles
Produit
e^a x e^b = e^(a+b)
Quotient
e^a / e^b = e^(a-b)
Puissance
(e^a)^n = e^(na)
Inverse
1/e^a = e^(-a)
Exemples concrets
Resolution d'equation
Pour e^(2x-1) = e^3 : comme exp est bijective, 2x - 1 = 3, donc x = 2.
Simplification
e^3 x e^(-2) = e^(3-2) = e^1 = e. Et (e^2)^3 = e^(2x3) = e^6.
Etude de fonction
f(x) = xe^x, f'(x) = e^x + xe^x = e^x(1+x). f' > 0 ssi x > -1.
Astuce de revision
Pour resoudre une inequation avec exp, utilisez la croissance : e^a < e^b equivaut a a < b.
Pieges a eviter
e^(a+b) != e^a + e^b
e^(ab) != e^a x e^b mais bien (e^a)^b
Ne pas oublier que e^x est toujours strictement positif
