Cours de spécialité maths Première : formes, discriminant, racines, somme, produit et signe du second degré.
Reconnaître les trois formes d’une fonction polynôme du second degré.
Résoudre une équation du second degré avec le discriminant.
Étudier le signe d’un trinôme à partir de ses racines.
Choisir la forme utile pour une équation, une inéquation ou un extremum.
Une fonction du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.
Le discriminant Δ = b² − 4ac indique le nombre de racines réelles.
Avec deux racines, leur somme vaut −b/a et leur produit vaut c/a.
Deux racines permettent une forme factorisée et une étude de signe.
La forme canonique aide à lire un minimum ou un maximum.
La forme la plus utile dépend toujours de la question posée.
Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
On choisit son écriture selon la question. Chaque écriture révèle une information différente.
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on commence par identifier a, b et c.
On calcule ensuite Δ = b² − 4ac. Le signe de Δ décide du nombre de solutions réelles.
Quand f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), les racines séparent la droite réelle en trois intervalles.
Si a est positif, f est positif à l’extérieur des racines. Le signe est négatif entre elles.
Si a est négatif, tous les signes sont inversés. Avec une racine double, le signe ne change pas.
Lorsque l’équation admet deux racines x₁ et x₂, elles vérifient deux relations simples.
Ces relations permettent de contrôler un calcul ou de détecter des racines entières dans des cas simples.
Utilise la forme développée pour calculer Δ.
Utilise la forme factorisée pour résoudre une inéquation ou étudier le signe.
Utilise une forme canonique simple pour repérer un extremum ou une valeur minimale.
Discriminant
Δ = b² − 4ac
Deux racines si Δ > 0
x₁ = (−b − √Δ) / 2a ; x₂ = (−b + √Δ) / 2a
Racine double si Δ = 0
x₀ = −b / 2a
Somme et produit des racines
x₁ + x₂ = −b/a ; x₁ × x₂ = c/a
Forme factorisée
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Résous x² − 5x + 6 = 0, puis factorise x² − 5x + 6.
Les racines sont 2 et 3. Le trinôme est négatif entre 2 et 3.
Étudie g(x) = x² − 4x + 7.
La fonction n’a pas de racine réelle et son minimum vaut 3.
Vérifie les notions vues dans le cours avec dix questions corrigées.
Lancer le QCMAvant tout calcul, écris clairement a, b et c. Le signe de b doit rester dans les parenthèses de b².
Aucune solution réelle.
Δ = 3² − 4 × 2 × 5 = 9 − 40 = −31. Le discriminant est négatif.
Ne pas oublier la condition a ≠ 0.
Pour b = −5, calcule bien b² = (−5)².
Ne factorise pas sur les réels si Δ est négatif.
Ne confonds pas les racines avec les coordonnées du sommet.
