Les Suites Numeriques
Suites arithmetiques, geometriques et raisonnement par recurrence pour le Bac.
Points cles a retenir
Suite arithmetique : u(n+1) = u(n) + r, terme general u(n) = u(0) + n x r
Suite geometrique : u(n+1) = u(n) x q, terme general u(n) = u(0) x q^n
Somme des n premiers termes arithmetiques : S = n x (u(0) + u(n-1)) / 2
Somme des n premiers termes geometriques : S = u(0) x (1 - q^n) / (1 - q) si q != 1
Le raisonnement par recurrence se fait en 3 etapes : initialisation, heredite, conclusion
Formules essentielles
Terme general arithmetique
u(n) = u(0) + n x r
Terme general geometrique
u(n) = u(0) x q^n
Somme arithmetique
n(u(0) + u(n-1))/2
Somme geometrique
u(0)(1-q^n)/(1-q)
Exemples concrets
Suite arithmetique
La suite (u(n)) definie par u(0) = 3 et u(n+1) = u(n) + 5 est arithmetique de raison r = 5. Son terme general est u(n) = 3 + 5n.
Suite geometrique
La suite (v(n)) definie par v(0) = 2 et v(n+1) = 3 x v(n) est geometrique de raison q = 3. Son terme general est v(n) = 2 x 3^n.
Recurrence
Pour demontrer que pour tout n, 2^n >= n+1 : initialisation (n=0 : 1 >= 1, vrai), heredite (si 2^k >= k+1, alors 2^(k+1) = 2 x 2^k >= 2(k+1) >= k+2).
Astuce de revision
Pour determiner si une suite est arithmetique ou geometrique, calculez u(n+1) - u(n) (constante = arithmetique) ou u(n+1)/u(n) (constante = geometrique).
Pieges a eviter
Ne pas confondre u(n+1) - u(n) = r (arithmetique) et u(n+1)/u(n) = q (geometrique)
Bien verifier l'initialisation dans une recurrence
Attention a l'indice : u(0) ou u(1) selon la definition
