La forme de la Terre

Un terrain paraît plat parce que sa taille est petite devant celle de la planète. Cette observation locale ne permet pas de déduire la forme de l’ensemble. Pour étudier celle-ci, on associe des observations à différentes échelles et des modèles géométriques. La Terre est proche d’une sphère ; des mesures précises révèlent un aplatissement et des irrégularités. Le modèle sphérique reste utile pour de nombreux calculs.

Les observations anciennes comprenaient la forme arrondie de l’ombre terrestre lors des éclipses de Lune et les variations de hauteur des étoiles selon le lieu. Aujourd’hui, les observations spatiales et la géodésie apportent d’autres contraintes. Une image isolée n’est pas l’unique fondement du modèle : des méthodes indépendantes doivent être compatibles entre elles.

Une éclipse de Lune se produit lorsque la Lune traverse l’ombre de la Terre. La courbure du bord de cette ombre est un argument géométrique. Pour en tirer une conclusion, on doit préciser les positions des astres et examiner si le modèle proposé prédit les observations. La démarche scientifique relie ainsi un fait à une explication testable plutôt qu’à une simple impression visuelle.

Le rayon moyen de la Terre sera pris égal à 6 371 km dans les calculs de ce chapitre. C’est une valeur de modèle : elle ne signifie pas que chaque point de la surface est exactement à cette distance du centre. Il faut aussi distinguer le rayon, le diamètre égal à deux rayons et la circonférence d’un grand cercle égale à 2πR.

Un cercle méridien est un grand cercle passant par les pôles. Si deux points situés sur un même méridien sont séparés par un angle au centre α, la longueur de l’arc qui les relie représente α/360 de la circonférence, lorsque α est exprimé en degrés. La proportionnalité entre angle et arc permet de passer d’une mesure locale à une dimension planétaire.

La méthode associée à Ératosthène compare des directions verticales et l’éclairage solaire dans deux lieux. Avec un Soleil très éloigné, les rayons sont assimilés à des droites parallèles. Dans la configuration idéale, le Soleil est à la verticale d’un lieu ; la différence d’orientation des verticales correspond à l’angle mesuré grâce à l’ombre dans l’autre. Les lieux doivent être convenablement situés et les observations rapportées au même instant.

Cette présentation géométrique simplifie la situation historique. Une estimation dépend de la distance entre les lieux, de la précision des angles et des hypothèses sur leur position. Un calcul juste ne supprime pas les incertitudes de ses données. Pour retrouver le rayon, on détermine d’abord la circonférence C du cercle méridien puis on utilise R = C/(2π).

Delambre et Méchain ont utilisé une chaîne de triangles pour contribuer à la mesure du méridien terrestre à la fin du XVIIIe siècle. Le principe de triangulation consiste à mesurer soigneusement une base, puis des angles entre des directions visibles. La géométrie permet d’en déduire des distances qui deviennent des bases pour les triangles suivants. On ne mesure donc pas directement chaque côté sur le terrain.

Pour comprendre le principe dans le plan, imagine un triangle rectangle dont un côté connu mesure 500 m et dont l’angle adjacent à ce côté vaut 30°. Le côté opposé vaut 500 × tan(30°), soit environ 289 m. Dans une chaîne réelle, les triangles ne sont pas nécessairement rectangles : des relations adaptées permettent de calculer leurs côtés. Les corrections de courbure et les incertitudes deviennent nécessaires pour des mesures étendues.

La triangulation exige que les points soient identifiés et que les angles se rapportent aux bonnes directions. Un angle mal affecté produit une erreur même si la formule est correcte. Les instruments, le choix de points visibles et les contrôles entre plusieurs triangles font donc partie de la méthode. Mesurer n’est pas simplement appliquer une relation mathématique.

L’horizon fournit un autre usage de la géométrie. Dans le modèle sphérique sans relief ni réfraction atmosphérique, la visée vers l’horizon est tangente à la Terre. Le rayon au point de tangence est perpendiculaire à cette visée. On obtient un triangle rectangle reliant le centre, le point de tangence et l’observateur.

La latitude est un angle qui situe un point au nord ou au sud de l’équateur. La longitude le situe à l’est ou à l’ouest du méridien de référence. Les signes dépendent de la convention : on utilise souvent des valeurs positives au nord et à l’est, négatives au sud et à l’ouest. L’altitude complète le repérage avec une hauteur rapportée à un niveau de référence.

Un parallèle est un cercle dont les points ont la même latitude. Seul l’équateur est un grand cercle. À la latitude φ, le rayon du parallèle vaut R cos(φ) dans le modèle sphérique. Parcourir un parallèle ne constitue donc pas, en général, le trajet le plus court entre deux de ses points. Un grand cercle est l’intersection de la sphère avec un plan qui passe par son centre.

Le plus court trajet sur la surface sphérique entre deux points non antipodaux suit le plus petit arc du grand cercle qui les contient. Une carte plane peut le rendre courbe : la projection déforme certaines longueurs et directions. Pour comparer des trajets avec un système d’information géographique, il faut lire le type de distance calculé et la projection utilisée, plutôt que mesurer simplement à la règle sur l’écran.