Fonctions exponentielles

Dans une suite géométrique positive, uₙ = Cqⁿ décrit la quantité après n périodes entières. Pour obtenir un modèle continu, on définit f(x) = Cqˣ pour x ≥ 0, où C > 0 et q > 0. Les valeurs entières coïncident avec les termes de la suite. Les valeurs intermédiaires dépendent de ce choix de prolongement. Une situation qui ne change qu’à dates fixes ne devient pas réellement continue parce que l’on dessine une courbe.

On admet l’extension des propriétés des puissances aux exposants réels employés ici. En particulier, q⁰ = 1, donc f(0) = C, et q¹ = q, donc f(1) = Cq. Le nombre q reste un coefficient multiplicateur par période. Si la période de référence est l’année, x égal à 0,5 représente une demi-année. Il ne représente ni cinquante années ni la moitié de la quantité.

Pour un exposant demi, q¹ᐟ² est la racine carrée positive de q. Deux multiplications successives par ce coefficient doivent redonner une multiplication par q. Par exemple, la racine carrée de 1,21 vaut 1,1, car 1,1 × 1,1 = 1,21. Dans un modèle continu à coefficient annuel 1,21, le coefficient sur une demi-année est donc 1,1, et non 1,105.

Pour une base positive a, on utilise aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ et aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ lorsque les exposants considérés permettent les opérations dans le modèle. On utilise également (aˣ)ʸ = aˣʸ. Ces propriétés prolongent celles des puissances entières. Elles décrivent des durées qui se cumulent ou des rapports entre valeurs. On ne doit pas remplacer le produit de puissances par la somme de leurs bases.

Dans f(x) = Cqˣ, le rapport f(x + h)/f(x) vaut qʰ pour une durée supplémentaire h. Il ne dépend pas de x. C’est le caractère exponentiel : des durées égales produisent le même coefficient multiplicateur. En revanche, la différence f(x + h) − f(x) dépend généralement de la quantité de départ f(x). Une même évolution relative peut donc créer des gains absolus différents.

Pour une durée égale à 1/n de période, le coefficient est q¹ᐟⁿ, la racine n-ième positive de q. Répéter n fois cette évolution donne q. Cette idée permet de comprendre une fréquence de capitalisation ou une fraction de durée sans apprendre une nouvelle règle pour chaque fraction. L’unité de temps doit rester constante dans la formule.

Pour f(x) = Cqˣ avec C positif, si q > 1, la fonction est strictement croissante. Si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante. Si q = 1, elle est constante. Toutes ses valeurs sont positives. Un modèle décroissant peut se rapprocher de zéro sans prendre exactement la valeur zéro à une durée finie. Cette observation compte lorsqu’un seuil doit être atteint.

La courbe de 80 × 0,5ˣ passe par les valeurs 80, 40, 20 et 10 aux rangs entiers zéro à trois. Les pertes successives valent 40, 20 et 10. Elles ne sont pas constantes. Ce modèle illustre une division répétée par deux ; dans un contexte scientifique réel, la durée de référence et les hypothèses physiques devraient être fournies et vérifiées.

Un seuil peut être étudié à l’aide de valeurs exactes simples, d’une représentation graphique ou d’un outil numérique. Il faut distinguer le premier rang entier d’une suite et l’instant de franchissement d’une fonction continue. Dans le modèle f(x) = 80 × 0,5ˣ, les valeurs aux temps deux et trois encadrent quinze : f(2) = 20 et f(3) = 10. La courbe étant décroissante, le passage par quinze se situe entre ces deux temps.

Changer de période modifie la base. Un coefficient mensuel q correspond à un coefficient annuel q¹² si les douze mois sont traités comme périodes identiques du modèle. Inversement, un coefficient annuel Q correspond à Q¹ᐟ¹² par mois dans un prolongement homogène. Ces transformations ne prouvent pas que le dispositif réel applique ce mécanisme ; elles décrivent la cohérence interne du modèle choisi.

L’épreuve anticipée distingue le programme des mathématiques communes de celui de spécialité et se traite sans calculatrice. Pour s’y préparer, on privilégie donc ici des coefficients dont les racines se calculent simplement, des puissances fournies ou des lectures graphiques justifiées. En cours, le tableur peut compléter un nuage de points par des valeurs intermédiaires et aider à comparer une évolution affine avec une évolution exponentielle.