Programmer et démontrer

Programmer permet de calculer de nombreux exemples, de repérer une régularité et de chercher un cas qui résiste. Démontrer demande autre chose : expliquer pourquoi une propriété vaut pour tous les objets annoncés. Les deux démarches se complètent à condition de préciser leur rôle. Un programme peut aussi être l’objet du raisonnement lorsque l’on explique ce que ses variables représentent et ce que chaque instruction conserve.

Un automatisme est une procédure comprise et suffisamment maîtrisée pour être mobilisée rapidement. Il se travaille aussi pendant la programmation : prévoir le signe, estimer un ordre de grandeur et reconnaître une factorisation évitent des résultats absurdes. Par exemple, une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 10 % multiplie une valeur par 1,2 × 0,9 = 1,08 ; l’évolution globale est une hausse de 8 %. On ne remplace pas ce calcul par la différence des pourcentages. Le programme peut appliquer les facteurs, mais le raisonnement explique leur choix.

Une liste Python est une collection ordonnée de valeurs. On peut la donner en extension, par exemple L = [0, 1, 4, 9, 16, 25], la construire par ajouts successifs avec append, ou la définir en compréhension. Les indices commencent à 0 : L[0] est le premier élément. Une liste de longueur n a des indices de 0 à n − 1. L’expression len(L) donne sa longueur.

Pour parcourir une liste, on peut travailler sur ses valeurs ou sur ses indices. Une somme de valeurs peut être obtenue par sum(L). Une compréhension peut filtrer les éléments : [x for x in L if x > 10] conserve ceux qui dépassent 10. Ajouter avec L.append(36) place 36 à la fin ; L.pop() retire et renvoie le dernier élément ; L.remove(9) retire la première occurrence de la valeur 9 si elle existe. Ces opérations modifient la liste.

Une proposition mathématique peut être vraie ou fausse. Le connecteur « et » exige que les deux propositions soient vraies ; le connecteur « ou » est inclusif : au moins une doit être vraie, éventuellement les deux. En Python, ces connecteurs s’écrivent and et or. Une condition de filtre utilise ces règles : demander x > 0 and x < 1 conserve exactement les valeurs dans ]0 ; 1[.

L’implication « si P, alors Q » affirme que toute situation vérifiant P vérifie aussi Q. P est alors une condition suffisante pour Q, et Q une condition nécessaire pour P. La réciproque échange les rôles : « si Q, alors P ». Elle n’est pas automatiquement vraie. Une équivalence affirme les deux implications, qu’il faut donc justifier toutes deux.

Une phrase quantifiée précise l’ensemble étudié. « Pour tout réel x » n’a pas le même sens que « il existe un réel x ». La négation de « tous les éléments vérifient P » est « il existe un élément qui ne vérifie pas P ». La négation de « il existe un élément qui vérifie P » est « aucun élément ne vérifie P ». Un contre-exemple suffit ainsi à réfuter une affirmation universelle.

Les ensembles organisent ces résultats : x ∈ A signifie que x appartient à A ; A ⊂ B indique une inclusion ; A ∩ B retient les éléments communs et A ∪ B ceux de l’un ou l’autre ensemble. Le complémentaire de A dans E contient les éléments de E qui ne sont pas dans A. Dans une liste filtrée, les éléments restent ordonnés et peuvent être répétés : une liste n’est donc pas simplement un ensemble.

Pour montrer une implication, on peut partir de l’hypothèse et enchaîner des conséquences. On peut aussi démontrer sa contraposée : « si non Q, alors non P ». Cette proposition est équivalente à l’implication initiale. La réciproque et la contraposée sont donc deux objets différents : la première est une nouvelle affirmation, tandis que la seconde permet de démontrer l’affirmation de départ.

Le raisonnement par disjonction des cas sépare un ensemble en situations qui le recouvrent. Par exemple, tout entier est pair ou impair : traiter ces deux cas couvre les entiers. Pour raisonner par l’absurde, on suppose la négation de la conclusion recherchée, puis on en déduit une contradiction avec une hypothèse ou un résultat établi. Chaque méthode doit préciser ce qui est supposé et à quel moment la contradiction ou la couverture des cas est obtenue.

Un programme doit lui aussi être expliqué. Une affectation remplace la valeur d’une variable : u ← u + 3 signifie qu’on ajoute 3 à l’ancienne valeur avant de la stocker. Ce n’est pas une égalité mathématique entre deux nombres fixes. Dans une répétition, les mises à jour suivent un ordre. Pour chercher un seuil d’une suite croissante, on initialise un terme et son indice, on les met à jour ensemble et on s’arrête lorsque le seuil demandé est atteint.

Les comparaisons numériques exigent aussi de la prudence. Des calculs avec des décimaux peuvent être arrondis par la machine ; une égalité théorique peut donc apparaître comme une très petite différence. Pour établir une identité, on transforme les expressions symboliques. Le calcul numérique sert à proposer ou à contrôler, et le raisonnement exact décide.