Probabilités conditionnelles

On choisit au hasard, avec la même probabilité pour chacun, un élève parmi cent. Quarante appartiennent au groupe A et soixante à son complémentaire, noté non A. Trente élèves de A et dix-huit élèves de non A viennent à vélo. L’événement B signifie venir à vélo. Une intersection A ∩ B rassemble les élèves qui possèdent les deux propriétés à la fois.

Sans autre information, P(B) = 48/100 = 0,48. Si l’on sait que l’élève appartient à A, les soixante élèves de non A ne sont plus possibles. Parmi les quarante élèves restants, trente réalisent B. On note P_A(B) ou P(B sachant A) la probabilité obtenue. Elle vaut 30/40 = 0,75. L’information située après sachant définit la nouvelle référence.

Lorsque P(A) est strictement positive, la définition est P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). Le quotient compare la probabilité de réaliser ensemble A et B à celle de réaliser A. La condition P(A) > 0 est indispensable : on ne divise pas par zéro. Dans un tableau équiprobable, le même facteur de division par cent apparaît au numérateur et au dénominateur, ce qui redonne directement 30/40.

Un arbre pondéré présente un raisonnement par étapes. On commence ici par A ou non A. Les poids des deux premières branches sont P(A) = 0,4 et P(non A) = 0,6. À partir du nœud A, les branches suivantes utilisent des probabilités sachant A : 0,75 vers B et 0,25 vers non B. À partir de non A, la probabilité de B vaut 18/60 = 0,30, et celle de non B vaut 0,70.

Dans cet arbre, chaque couple de branches issues d’un même nœud doit avoir une somme égale à un. Il ne faut pas additionner toutes les probabilités du dessin pour obtenir un : chaque groupe décrit un choix local différent. La somme 0,75 + 0,30 ne correspond à aucune partition de l’univers. Les deux nombres portent sur deux références distinctes.

L’arbre choisi raconte d’abord le groupe, puis le transport, mais il ne décrit pas forcément l’ordre chronologique des événements. On pourrait construire un autre arbre qui commence par B. Les probabilités du premier niveau seraient alors 0,48 et 0,52, et les probabilités conditionnelles devraient être recalculées. Changer l’ordre d’un arbre n’autorise pas à déplacer les mêmes poids sans calcul.

Pour obtenir B dans l’arbre, il existe deux chemins : A puis B et non A puis B. Ils sont incompatibles, car un élève ne peut pas être à la fois dans A et non A. Ils couvrent ensemble tous les cas où B se produit. On additionne donc les probabilités de ces chemins. Cette décomposition explique pourquoi l’addition vient après les produits.

On obtient P(B) = P(A) × P_A(B) + P(non A) × P_non A(B). Ici, 0,4 × 0,75 + 0,6 × 0,30 = 0,30 + 0,18 = 0,48. Le résultat retrouve la marge du tableau. Cette formule demande une partition, c’est-à-dire des cas sans recouvrement qui couvrent l’univers. On ne peut pas additionner deux chemins qui décrivent partiellement les mêmes issues.

Le hasard doit être décrit dans l’énoncé. Pour passer directement des effectifs aux probabilités, nous avons supposé un choix équiprobable parmi les individus. Si certains élèves ont davantage de chances d’être sélectionnés, le tableau brut ne suffit plus. Le modèle explique ce que l’on calcule et les conditions dans lesquelles le résultat peut être utilisé.

Une probabilité conditionnelle élevée ne prouve pas une relation de cause à effet. Dans l’enquête fictive, le groupe et le vélo peuvent être liés à des horaires, à des distances ou à d’autres caractéristiques qui ne figurent pas dans le tableau. Le conditionnement organise une information ; il ne démontre pas pourquoi une différence existe. Cette distinction évite de transformer un calcul exact en explication non justifiée.

Tous les résultats doivent appartenir à l’intervalle de zéro à un. Une probabilité d’intersection ne peut pas dépasser celle de chacun des événements qu’elle réunit. La valeur 0,30 est bien inférieure à 0,40 et à 0,48. Ces bornes constituent des contrôles rapides. Une probabilité conditionnelle, en revanche, peut dépasser la probabilité non conditionnelle : 0,75 est supérieur à 0,48 sans contradiction.