Indépendance et répétition

Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si P(A) est positive, cela équivaut à P_A(B) = P(B). L’information A ne modifie donc pas la probabilité de B. Cette définition ne dit pas que les événements sont séparés dans le temps ou qu’ils semblent sans rapport. Elle impose une égalité entre des probabilités.

Considérons un tableau fictif de cent cartes : cinquante sont rouges et quarante portent une étoile. Si vingt sont à la fois rouges et étoilées, alors P(R ∩ E) = 0,20 et P(R)P(E) = 0,50 × 0,40 = 0,20. Les événements sont indépendants dans le modèle où chaque carte a la même probabilité d’être choisie. Parmi les cartes rouges, la proportion d’étoiles vaut aussi 20/50 = 0,40.

Incompatibles signifie ne pas pouvoir se réaliser ensemble. Indépendants signifie que savoir l’un réalisé ne change pas la probabilité de l’autre. Ces deux notions répondent à des questions différentes. Pour deux événements de probabilités positives, l’incompatibilité entraîne au contraire une modification radicale : si l’un se réalise, l’autre devient impossible.

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues nommées succès S et échec non S. Le succès n’est pas nécessairement un résultat souhaitable ; c’est seulement l’issue que l’on choisit de suivre. On note p sa probabilité et 1 − p celle de l’échec. Pour une épreuve où le succès a une probabilité de 0,3, l’échec a une probabilité de 0,7.

Répéter des épreuves identiques et indépendantes impose deux conditions. Identiques signifie que la probabilité de succès reste la même. Indépendantes signifie que les résultats déjà obtenus ne changent pas les probabilités des épreuves suivantes. Un entraînement qui améliore les performances peut invalider la première condition. Un prélèvement sans remise dans un petit ensemble peut invalider la seconde.

L’arbre comporte quatre chemins : SS, S puis non S, non S puis S, et deux échecs. Leurs probabilités valent respectivement 0,09 ; 0,21 ; 0,21 ; 0,49. Chaque produit correspond à un chemin complet. La somme vaut un, ce qui contrôle que tous les résultats ordonnés ont été pris en compte. Les chemins mixtes sont distincts même s’ils comportent le même nombre de succès.

Notons X le nombre de succès dans deux épreuves. X peut valoir zéro, un ou deux. L’événement X = 1 rassemble deux chemins de l’arbre, tandis que X = 0 et X = 2 n’en rassemblent chacun qu’un. La probabilité d’un nombre de succès ne se réduit donc pas toujours à un seul produit. Il faut identifier toutes les positions possibles des succès.

Pour trois épreuves, l’arbre comporte huit chemins, car chaque issue se prolonge par deux nouvelles branches. Pour exactement un succès, les chemins sont SNN, NSN et NNS, en écrivant N pour l’échec. Chacun a une probabilité p(1 − p)². Leur somme vaut trois fois ce produit. Ce facteur trois vient du comptage des chemins ; il ne doit pas être ajouté sans justification.

Pour quatre épreuves, on peut encore construire un arbre complet ou lister les chemins favorables. Exactement deux succès correspondent aux six placements SSNN, SNSN, SNNS, NSSN, NSNS et NNSS. Chacun porte le même produit p²(1 − p)² si les hypothèses sont satisfaites. La liste permet de contrôler qu’aucun ordre n’a été compté deux fois.

Une série d’échecs n’augmente pas automatiquement les chances de succès du prochain essai. Dans le modèle indépendant, la probabilité du prochain succès reste p, quelle que soit la succession passée. Cela ne signifie pas que le passé soit inutile dans toute situation réelle. Il peut révéler que le dispositif a changé ou que l’hypothèse initiale était mauvaise. Il faut alors revoir le modèle plutôt que modifier silencieusement une branche.

Tirer une boule, la remettre et mélanger avant le tirage suivant permet de proposer un modèle de répétition à composition constante. Sans remise, la composition évolue. Dans une urne contenant une boule rouge et une bleue, obtenir une rouge au premier tirage rend impossible une rouge au second si l’on n’a pas remis la boule. L’information sur le premier résultat modifie donc le second.

Une simulation peut illustrer la répétition de nombreuses séries, sans prouver à elle seule l’indépendance du phénomène réel. Pour simuler deux essais de paramètre 0,3, on peut comparer deux nombres aléatoires uniformes indépendants à 0,3 et compter les succès. Sur beaucoup de séries, les fréquences se rapprochent souvent des probabilités, tout en fluctuant. Une fréquence observée sur cent séries n’est pas tenue d’être exactement égale à sa valeur théorique.