Suites arithmétiques

Une suite associe un nombre à chaque entier naturel n. On commence par écrire u(n), puis on emploie aussi la notation uₙ. Le nombre n est le rang, et uₙ le terme de ce rang. Si n compte des semaines écoulées, u₀ représente la quantité au départ. u₁ désigne la quantité après une semaine, pas nécessairement la première quantité annoncée par l’énoncé.

Une suite arithmétique est définie par l’ajout d’une même constante r à chaque étape : uₙ₊₁ = uₙ + r. Le nombre r s’appelle la raison. Dans un modèle où une réserve initiale de cent vingt euros reçoit trente-cinq euros chaque semaine, u₀ = 120 et r = 35. Les premiers termes sont 120, 155, 190, 225, 260. Les différences entre deux termes consécutifs valent toujours trente-cinq.

Une formule de récurrence utilise un terme pour calculer le suivant. Elle doit être accompagnée d’un terme initial. La seule phrase ajouter trente-cinq ne fixe pas une suite unique : deux réserves de départ différentes donnent deux suites différentes. Pour modéliser, il faut donc annoncer à la fois la règle, le départ et ce que représente une étape.

Après une étape, on a ajouté une fois r. Après deux étapes, on a ajouté deux fois r. Après n étapes depuis le rang zéro, le terme vaut donc uₙ = u₀ + nr. Cette formule explicite donne directement le terme souhaité, sans calculer tous les précédents. Pour la réserve, uₙ = 120 + 35n. La présence de n traduit le nombre d’ajouts depuis le départ.

Si l’énoncé commence au rang un, la formule devient uₙ = u₁ + (n − 1)r. Entre les rangs un et six, il existe cinq intervalles. Plus généralement, entre les rangs p et n, on effectue n − p ajouts : uₙ = uₚ + (n − p)r. Cette relation est utile lorsqu’on connaît un terme qui n’est pas le premier. Le nombre d’intervalles se lit en soustrayant les rangs.

Deux valeurs quelconques ne prouvent pas qu’un phénomène suit une suite arithmétique. Elles permettent de déterminer une candidate si cette hypothèse est annoncée. Pour des données observées, on peut comparer plusieurs différences, puis discuter si leur constance est exacte ou seulement approximative. Une observation proche d’un alignement suggère un modèle ; elle ne garantit pas sa validité à tous les rangs.

Puisque uₙ₊₁ − uₙ = r, le signe de r détermine la variation. Si r > 0, chaque terme est plus grand que le précédent : la suite est strictement croissante. Si r < 0, elle est strictement décroissante. Si r = 0, tous les termes sont égaux : elle est constante. Le signe des termes ne détermine pas leur variation ; une suite de nombres positifs peut décroître.

Les points de coordonnées (n ; uₙ) sont situés sur la droite d’équation y = u₀ + rx. Leur alignement est une conséquence de la formule explicite. Cependant, la suite reste définie aux rangs entiers. La fonction affine associée permet de visualiser le même taux d’accroissement sur une variable continue, mais son sens concret doit être vérifié avant d’utiliser une valeur entre deux rangs.

Le modèle de stock vₙ = 90 − 7n donne v₁₂ = 6, puis v₁₃ = −1. La formule mathématique reste calculable, mais un stock matériel ne peut pas être négatif. Si l’on retire exactement sept unités à chaque étape, on ne peut réaliser que douze retraits complets. Il faut ensuite arrêter le modèle ou préciser une autre règle pour le dernier retrait. La cohérence du contexte borne l’emploi de la suite.

Un problème de seuil demande le premier rang où une condition devient vraie. Pour la réserve uₙ = 120 + 35n, atteindre au moins quatre cents euros signifie uₙ ≥ 400. On résout d’abord l’inégalité sur les nombres réels, puis on choisit un entier compatible. Il faut enfin vérifier le rang retenu et le rang précédent, car le mot premier fait partie de la question.

Diviser une inégalité par un nombre négatif inverse son sens. Dans un modèle décroissant, cette étape est une source fréquente d’erreur. Un contrôle avec les termes voisins permet de retrouver le bon sens sans s’en remettre à une transformation purement formelle. Dans un tableur, on peut aussi produire les termes jusqu’au franchissement, en vérifiant que les rangs correspondent aux étapes de l’énoncé.

Les intérêts simples offrent un exemple de croissance arithmétique : si un montant initial sert toujours de base au calcul des intérêts, le même montant est ajouté à chaque période. Des intérêts calculés sur le capital actualisé relèveraient d’un autre modèle. Reconnaître le vocabulaire ne suffit donc pas ; il faut identifier la grandeur qui reste constante dans la règle d’évolution.