Suites géométriques

Augmenter une quantité de 10 % revient à conserver toute la quantité et à ajouter un dixième de celle-ci. La valeur suivante vaut donc 1,10 fois la précédente. Diminuer de 20 % revient à en conserver 80 %, soit à multiplier par 0,80. Pour un taux t écrit sous forme décimale, le coefficient multiplicateur est q = 1 + t. Une baisse correspond à un taux négatif.

Une suite géométrique vérifie uₙ₊₁ = q × uₙ, où q est constant. On commence par écrire u(n), quantité au rang entier n, puis on utilise la notation uₙ. Ici, nous étudions des termes strictement positifs avec un premier terme positif et une raison q positive. Le rang doit décrire une durée ou un nombre d’étapes ; le terme représente la quantité, avec son unité.

Un capital fictif de cinq cents euros augmenté de 10 % par an produit les termes 500 ; 550 ; 605 ; 665,50. Les ajouts sont 50 ; 55 ; 60,50 euros : ils changent. Les quotients de deux termes consécutifs valent en revanche tous 1,10. Le caractère constant porte sur le rapport, et non sur la différence. Cette observation permet de choisir entre un modèle arithmétique et un modèle géométrique.

À partir du rang zéro, une étape multiplie par q, deux étapes par q², et n étapes par qⁿ. La formule explicite est donc uₙ = u₀qⁿ. Elle permet de calculer un terme sans construire tous les précédents. Une puissance ne multiplie pas q par n : elle répète le facteur q autant de fois que le demande l’exposant entier.

Si la suite commence au rang un, on écrit uₙ = u₁qⁿ⁻¹. Entre les rangs p et n, le nombre d’étapes vaut n − p, ce qui donne uₙ = uₚqⁿ⁻ᵖ. Pour éviter une erreur de notation, on peut écrire cette relation en mots : terme connu multiplié par raison élevée à la différence des rangs. Le raisonnement est le même que pour les ajouts constants, mais les opérations changent.

Revenir en arrière revient à diviser par q à chaque étape, puisque q est positif et non nul. Une baisse de 20 % ne se compense donc pas par une hausse de 20 %. Pour retrouver la quantité initiale après multiplication par 0,8, il faut multiplier par 1/0,8 = 1,25, soit une hausse de 25 %. L’opération inverse est liée à l’inverse du coefficient, pas à l’opposé du taux.

Pour une suite à termes strictement positifs, uₙ₊₁ − uₙ = uₙ(q − 1). Le signe de cette différence dépend de q − 1. Si q > 1, la suite est strictement croissante. Si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante. Si q = 1, elle est constante. La comparaison se fait donc avec un, et non avec zéro comme pour la raison arithmétique.

Les points d’une suite géométrique ne sont généralement pas alignés. En croissance, les ajouts absolus augmentent avec la quantité. En décroissance, les pertes absolues diminuent, car le même pourcentage s’applique à une base plus petite. Une baisse de 20 % sur deux cents retire quarante unités ; sur cent, elle en retire vingt. Le taux reste pourtant exactement le même.

Ce modèle doit être borné par le contexte. Une croissance de population ne conserve pas nécessairement un taux fixe pendant des décennies. Une réserve constituée d’objets indivisibles ne prend pas exactement toutes les valeurs décimales de la formule. Il faut préciser s’il s’agit d’une approximation et comment l’on traite les arrondis. Arrondir à chaque étape peut produire une autre suite que celle donnée par la formule explicite.

Pour rechercher un seuil, commence par écrire la condition. La réserve vₙ = 200 × 0,8ⁿ devient inférieure à cent lorsque 0,8ⁿ < 0,5. On peut produire les termes successifs et s’arrêter au premier qui satisfait cette inégalité. Dans cette leçon, aucune formule utilisant les logarithmes n’est nécessaire. La monotonie justifie ensuite qu’il s’agit bien du premier franchissement.

Pour un calcul sans calculatrice, on peut donner une puissance sous forme exacte, exploiter des valeurs intermédiaires fournies ou comparer des produits simples. Les outils numériques servent en apprentissage à explorer un graphique ou une longue liste de termes. Ils ne dispensent pas de comprendre le coefficient, l’exposant et l’unité. Un tableur doit conserver la raison dans une référence fixe lors de la recopie des formules.