Modèles quadratiques

Une fonction polynôme de degré deux s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul. Le terme ax² explique le mot quadratique. Les coefficients peuvent prendre des signes différents. Une expression comme 3x + 5 reste affine, car elle ne comporte aucun terme de degré deux. Une même fonction peut posséder plusieurs écritures, chacune rendant certains éléments plus visibles.

Considérons un rectangle dont le périmètre est fixé à vingt-quatre mètres. Si une longueur vaut x, l’autre vaut 12 − x, puisque la somme de deux côtés voisins vaut douze. Son aire est A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x. Pour un rectangle non aplati, x doit être strictement compris entre zéro et douze. On peut inclure les extrémités pour représenter les configurations limites d’aire nulle.

Le domaine ne se déduit pas seulement de la possibilité de calculer la formule. Mathématiquement, −x² + 12x se calcule pour tout réel. Dans le problème, x égal à quinze donnerait une autre longueur négative, ce qui n’a pas de sens. Les conclusions d’optimisation doivent donc porter sur l’intervalle physique annoncé, ici de zéro à douze pour la représentation avec cas limites.

Une parabole possède un axe de symétrie vertical. Deux points de même ordonnée situés de part et d’autre de cet axe ont des abscisses dont le milieu donne la position de l’axe. Dans le modèle d’aire, les racines sont zéro et douze ; leur milieu vaut six. Le sommet se situe donc à l’abscisse six et son ordonnée vaut A(6) = 36.

On peut vérifier la nature du sommet sans dérivation. L’identité A(x) = 36 − (x − 6)² montre que A(x) ne dépasse jamais trente-six, car un carré est positif ou nul. L’égalité est obtenue lorsque x = 6. La courbe monte jusqu’au sommet puis redescend. Sur l’intervalle étudié, A est croissante de zéro à six et décroissante de six à douze.

Pour f(x) = ax², l’axe est x = 0 et le sommet est l’origine. Ajouter c déplace verticalement la courbe : ax² + c a pour sommet (0 ; c). Lorsque a est positif, la parabole s’ouvre vers le haut et le sommet est un minimum. Lorsque a est négatif, elle s’ouvre vers le bas et le sommet est un maximum. Ces repères aident à contrôler une représentation.

Une racine est une valeur de x pour laquelle f(x) = 0. Pour f(x) = a(x − r)(x − s), avec a non nul, les racines sont r et s. Cette conclusion utilise la propriété du produit nul. Il est inutile de développer pour les trouver : la forme factorisée expose directement les deux facteurs qui peuvent s’annuler.

Pour g(x) = (x − 2)(x − 6), les racines sont deux et six. Leur milieu vaut quatre ; g(4) = −4. La parabole s’ouvre vers le haut, descend jusqu’à ce minimum puis remonte. On peut contrôler la symétrie par g(3) = −3 et g(5) = −3. Les racines ne sont pas les coordonnées du sommet : elles servent ici à en déterminer l’abscisse.

Si l’on multiplie l’expression précédente par un coefficient négatif, les racines restent identiques mais tous les signes non nuls s’inversent. Par exemple, −2(x − 2)(x − 6) est positif entre les racines et négatif à l’extérieur. Le coefficient placé devant les facteurs compte donc autant que les deux facteurs. Un tableau de signes doit le prendre en compte.

Une racine double peut apparaître dans h(x) = 3(x − 2)². Le carré ne prend jamais de valeur négative, donc h reste positive sauf en deux où elle s’annule. La courbe touche l’axe horizontal sans le traverser. Cela montre pourquoi la règle changer de signe à chaque racine demande une vérification : un facteur répété ne se comporte pas comme un facteur simple.

Pour choisir une écriture, regarde la question. La forme développée aide à identifier le degré et les coefficients. La forme factorisée aide à trouver les zéros et le signe. Une écriture avec un carré aide à comparer à une valeur extrême. Passer d’une forme à l’autre demande de vérifier l’identité par développement, afin de ne pas étudier accidentellement une fonction différente.

Dans ce parcours de mathématiques communes, le calcul de racines par discriminant n’est pas nécessaire. Les expressions proposées et la symétrie fournissent les outils adaptés. Une lecture graphique donne une estimation ; une factorisation ou une identité exacte peut fournir une justification. Pour conclure à une valeur précise, indique clairement quel type de preuve tu emploies.