Définir une suite

Une suite numérique associe un nombre réel à chaque entier naturel de son ensemble de définition. On peut noter u(n) l’image de l’entier n, puis écrire uₙ. Les deux notations désignent le même terme. La suite entière se note (uₙ), avec des parenthèses, tandis que uₙ désigne une seule valeur. La lettre n est appelée rang ou indice.

Une suite peut commencer au rang 0, au rang 1 ou à un autre rang précisé. Si le premier terme est u₀, le cinquième terme est u₄. Si le premier terme est u₁, le cinquième terme est u₅. Le nombre de termes de uₚ à uₙ inclus vaut n − p + 1. Le décalage entre rang et position doit être réglé avant tout calcul ou toute programmation.

La notation uₙ₊₁ désigne le terme au rang n + 1. Elle se distingue de uₙ + 1, qui ajoute le nombre un à la valeur du terme de rang n. Les deux expressions peuvent donner des résultats différents. Pour la suite uₙ = n², on a u₃ = 9 et u₃ + 1 = 10, alors que u₄ = 16. Les indices ne sont donc pas de simples décorations.

Une formule explicite donne directement le terme demandé. Pour uₙ = n² + 1, il suffit de remplacer n par le rang. Pour calculer u₄, on écrit 4² + 1 = 17. Il n’est pas nécessaire de connaître u₀, u₁, u₂ et u₃ auparavant. Cette possibilité de sauter directement à un rang élevé distingue la formule explicite du calcul pas à pas.

La représentation d’une suite comporte des points d’abscisses entières. Les espaces laissés entre les points rappellent que le rang 2,5 n’est pas un rang de cette suite. Une fonction définie sur les réels peut avoir la même expression n² + 1 remplacée par x² + 1, mais son domaine est différent. Relier automatiquement tous les points introduirait une information qui ne fait pas partie de la définition discrète.

Pour exprimer le terme suivant, on remplace n par n + 1 partout dans la formule. Ici uₙ₊₁ = 3(n + 1)² − 2(n + 1) + 1. Après développement, cela donne 3n² + 4n + 2. On peut alors comparer uₙ₊₁ et uₙ. Cette opération algébrique est souvent utile pour étudier le sens de variation, même si la suite est présentée sans relation de récurrence.

Un tableau organise les rangs sur une ligne et les termes sur une autre. Les deux lignes ne jouent pas le même rôle : la première contient les entrées autorisées, la seconde les résultats du calcul. Avant d’interpréter un tableau, vérifie toujours s’il commence à zéro ou à un et si le pas entre les rangs est bien égal à un.

Une définition par récurrence précise une ou plusieurs valeurs initiales et une règle de passage. Par exemple, v₀ = 1 et vₙ₊₁ = 2vₙ + 1 pour tout entier n ≥ 0. Le terme suivant se calcule en doublant le terme actuel puis en ajoutant un. On obtient v₁ = 3, v₂ = 7, v₃ = 15. Le premier terme est indispensable : avec un départ différent, la même règle construit une autre suite.

La figure présente les cinq premières valeurs de cette suite. Chaque calcul utilise le résultat précédent. Pour obtenir v₄, il faut donc disposer de v₃, ou trouver séparément une formule explicite. Remplacer vₙ par n dans la relation serait une erreur : n est un rang, tandis que vₙ est le nombre actuellement obtenu. Au rang 2, on double la valeur 7, et non l’indice 2.

Un algorithme de calcul suit la même logique. On place la valeur initiale dans une variable. On répète ensuite la mise à jour autant de fois que le rang demandé l’exige. Si le départ est u₀, il faut n mises à jour pour obtenir uₙ. Pour conserver toute la liste, on enregistre d’abord le terme initial, puis chacun des résultats successifs, sans oublier de mettre à jour la valeur utilisée.

Un motif géométrique peut fournir une définition sans formule donnée au départ. Il faut choisir ce que n compte, examiner la construction du motif suivant et éviter de se fier à une photographie isolée. Une même quantité peut parfois s’exprimer directement en fonction du rang ou comme une variation par rapport au motif précédent. Les deux écritures doivent décrire les mêmes objets avec la même convention de départ.

Quelques premiers termes servent à formuler une conjecture, c’est-à-dire une propriété que l’on pense vraie et qu’il reste à justifier. Une liste 1, 2, 3 ne suffit pas à déterminer une suite unique : la suite peut continuer par 4, ou suivre une règle différente dès le rang suivant. La définition précise lève cette ambiguïté. Une régularité observée ne remplace donc jamais la règle de génération.

Pour comparer les termes successifs, on peut étudier uₙ₊₁ − uₙ. Si cette différence est positive ou nulle pour tous les rangs concernés, la suite est croissante. Dans l’exemple des carreaux, 2n + 2 est strictement positif pour n ≥ 1 : la croissance est justifiée pour tous les rangs. Calculer seulement les trois premiers écarts n’aurait fourni qu’un indice.