Suites arithmétiques

Une suite (uₙ) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout rang concerné. Le nombre r s’appelle la raison. Il peut être positif, nul ou négatif. La propriété porte sur tous les rangs, pas seulement sur les premières valeurs observées. Pour vérifier une définition algébrique, on calcule uₙ₊₁ − uₙ et l’on cherche si cette différence est indépendante de n.

Dans la figure, la raison vaut 3. Le passage de 4 à 7 ajoute 3, comme celui de 16 à 19. Les points sont alignés car uₙ est une expression affine du rang. La suite représente toutefois des valeurs à temps discret : le terme de rang 2,5 n’est pas défini. Le lien avec une droite aide à comprendre la régularité, sans changer le domaine des rangs.

Attention au vocabulaire : ajouter un montant fixe et augmenter d’un pourcentage fixe sont deux mécanismes différents. Ajouter 20 euros chaque mois correspond à une différence constante. Ajouter 20 % du montant présent produit une différence qui dépend de ce montant. Dans un modèle, on doit donc lire précisément ce qui reste constant : un écart ou un taux.

Si le premier terme est u₀, on obtient u₁ = u₀ + r, u₂ = u₀ + 2r, puis uₙ = u₀ + nr. Entre les rangs 0 et n, il y a n passages, donc n ajouts de la raison. Si la suite commence au rang 1, la formule devient uₙ = u₁ + (n − 1)r. Il faut compter les passages et non les termes.

Plus généralement, pour deux rangs p et n, on a uₙ = uₚ + (n − p)r. Cette formule reste valable quand n < p : le nombre n − p est alors négatif et permet de remonter vers un terme antérieur, si ce rang appartient au domaine. Elle évite de chercher artificiellement un terme initial lorsqu’une autre valeur est déjà connue.

Le sens de variation découle directement de uₙ₊₁ − uₙ = r. Si r > 0, chaque terme est strictement plus grand que le précédent : la suite est strictement croissante. Si r < 0, elle est strictement décroissante. Si r = 0, elle est constante. Cette justification vaut pour tous les rangs et ne dépend pas du signe du premier terme.

La figure donne un exemple de raison négative. Les valeurs restent positives sur les rangs dessinés, tout en décroissant. Si l’on prolonge mathématiquement la formule, elles peuvent devenir négatives. Pour une quantité physique comme un stock, il faut vérifier si le modèle reste alors pertinent. Une suite est un outil de modélisation ; son domaine peut être limité par le sens concret de la situation.

Sur des exemples, on peut aussi anticiper le comportement lointain : une raison positive entraîne une croissance sans borne lorsque les rangs augmentent indéfiniment. Une raison négative entraîne des valeurs de plus en plus négatives. Cette observation ne nécessite pas ici de calcul formel de limite. Elle aide notamment à prévoir si un seuil supérieur pourra être atteint.

Pour une suite arithmétique, les termes situés à égale distance des extrémités ont la même somme. Pour additionner uₚ + uₚ₊₁ + … + uₙ, on écrit une seconde fois la somme dans l’ordre inverse. Chaque colonne donne uₚ + uₙ. Comme il y a n − p + 1 termes, le double de la somme vaut (n − p + 1)(uₚ + uₙ).

On en déduit S = (n − p + 1)(uₚ + uₙ)/2. La méthode se retient comme le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier. La moyenne des extrémités ne suffit pas seule : elle doit être multipliée par le nombre de valeurs additionnées. Les termes doivent être consécutifs dans la portion de suite considérée.

Pour les entiers de 1 à n, cette propriété donne 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Le résultat se démontre avec le même appariement : 1 + n, 2 + (n − 1), et ainsi de suite. Le double de la somme contient n fois n + 1. Cette démonstration fonctionne aussi lorsque le nombre de termes est impair, car l’écriture dans les deux sens compte correctement le terme central.

La formulation du seuil décide du résultat aux bornes. Pour « atteindre au moins », on écrit ≥. Pour « dépasser », on écrit >. Après résolution réelle de l’inéquation, on choisit le premier entier admissible. On vérifie ensuite ce rang et le précédent : le premier doit satisfaire la condition, le précédent ne doit pas la satisfaire. La suite étant croissante, cette double vérification prouve le caractère minimal de la réponse.

On peut aussi rechercher un seuil par répétition : partir du montant initial, augmenter le rang et ajouter la raison tant que la condition demandée n’est pas satisfaite. Il faut vérifier au préalable que la suite se déplace dans la bonne direction. Une suite décroissante qui part sous un seuil supérieur ne le dépassera jamais ; une répétition sans cette vérification pourrait se poursuivre indéfiniment.