Nombre dérivé et tangente

Pour une fonction f et deux abscisses distinctes a et b, le taux de variation entre a et b est [f(b) − f(a)]/(b − a). Le numérateur mesure la variation des images, le dénominateur celle des abscisses. Le quotient est le coefficient directeur de la droite passant par les deux points correspondants de la courbe. Cette droite est appelée sécante.

Pour f(x) = x², entre 1 et 2, le taux vaut (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Cela signifie que l’image augmente en moyenne de trois unités par unité d’abscisse sur cet intervalle. Entre 1 et 3, le taux vaut (9 − 1)/(3 − 1) = 4. La moyenne dépend donc des deux points choisis. La fonction carré ne possède pas une pente constante comme une fonction affine.

On peut écrire b = a + h, avec h ≠ 0. Le taux devient [f(a + h) − f(a)]/h. Le nombre h représente l’écart d’abscisse ; il peut être positif ou négatif. Le signe de h ne suffit pas à déterminer celui du quotient, puisque le numérateur change lui aussi. Les deux différences doivent être écrites dans le même ordre.

Quand h se rapproche de zéro, les deux points de la sécante se rapprochent. Si le taux de variation tend vers un même nombre réel fini, on dit que f est dérivable en a. Ce nombre se note f’(a). Il s’agit d’une limite du quotient, et non de sa valeur en h = 0 : le quotient initial n’est pas défini pour h = 0.

Le même calcul avec a donne [(a + h)² − a²]/h = 2a + h, pour h non nul. Le nombre dérivé du carré en a vaut donc 2a. Au point d’abscisse 1, on trouve 2 ; au point d’abscisse −1, on trouve −2. En ce dernier point, la tangente est descendante : pour un petit accroissement h > 0, l’approximation affine prédit une variation négative.

Un tableau de valeurs avec h = 0,1 puis 0,01 peut suggérer une limite. Il ne la démontre pas à lui seul. Des valeurs très proches peuvent aussi subir des erreurs d’arrondi avec un outil numérique. Lorsqu’une simplification exacte est possible, elle clarifie ce qui se passe pour tous les petits écarts non nuls, et non seulement pour quelques essais choisis.

Le nombre dérivé est local : il décrit le comportement près d’un point. Connaître f’(a) ne fournit pas directement les variations de f sur tout son domaine. Pour une fonction dont on étudie tous les points d’un intervalle, on construira ensuite la fonction dérivée et on analysera son signe sur cet intervalle.

La figure montre la tangente au carré en A(1 ; 1). Elle passe par A et a pour pente f’(1) = 2. Une droite de pente m passant par A(a ; f(a)) vérifie y − f(a) = m(x − a). En remplaçant m par f’(a), on obtient l’équation de la tangente : y = f(a) + f’(a)(x − a).

Cette écriture évite de deviner l’ordonnée à l’origine. Pour trouver une forme y = mx + p, on peut ensuite développer. Mais le nombre f’(a) est toujours la pente, pas le terme constant. Une tangente peut recouper la courbe ailleurs : on ne doit pas la définir comme une droite qui n’aurait qu’un seul point commun avec elle. C’est le comportement au voisinage du point étudié qui compte.

Pour lire graphiquement un nombre dérivé, on repère deux points lisibles de la tangente, puis on calcule leur différence d’ordonnées divisée par leur différence d’abscisses. On ne choisit pas deux points arbitraires de la courbe. Une pente se mesure avec les unités des axes, pas avec l’impression visuelle de l’inclinaison : une modification d’échelle change l’apparence de la droite sans changer sa pente mathématique.

Quand f(t) représente une position en mètres et t un temps en secondes, le taux de variation est une vitesse moyenne en mètres par seconde. Le nombre dérivé représente alors une vitesse instantanée algébrique, qui peut être négative selon l’orientation choisie. Si C(q) représente un coût en euros en fonction d’une quantité q, C’(q) indique un rythme local de variation du coût, en euros par unité de quantité.

Le coût supplémentaire exact pour une unité est C(q + 1) − C(q). Le coût marginal défini par la dérivée l’approche dans un modèle continu adapté ; ces deux nombres ne sont pas toujours égaux. Dans tous les contextes, on doit préciser ce que mesure l’abscisse et ce que mesure l’ordonnée avant d’interpréter le signe ou la valeur d’un nombre dérivé.

La valeur absolue fournit un contre-exemple utile. En zéro, le taux [|h| − 0]/h vaut 1 quand h > 0 et −1 quand h < 0. Les pentes venant des deux côtés n’approchent pas la même valeur. La fonction n’est donc pas dérivable en zéro, malgré une courbe que l’on peut tracer sans lever le crayon. Le coin visible dans la figure correspond à ce désaccord des pentes.