Calculer une dérivée

Si f est dérivable en chaque point d’un intervalle I, sa fonction dérivée f’ associe à chaque x de I le nombre dérivé f’(x). La valeur f(x) est une ordonnée de la courbe de f ; la valeur f’(x) est une pente de tangente à cette courbe. Elles n’ont donc pas le même sens, même si l’on peut représenter chacune par un graphique.

Les deux figures concernent la même fonction et sa dérivée. Pour f(x) = x³ − 3x, les tangentes horizontales aux abscisses −1 et 1 correspondent aux zéros de f’. Les ordonnées de f en ces points sont 2 et −2, tandis que celles de f’ sont nulles. Lire une pente sur le graphique de la dérivée donnerait encore une autre information : ce n’est pas ce que l’on cherche ici.

Le domaine de définition se vérifie avant le calcul. Une fraction impose un dénominateur non nul ; une racine carrée impose un radicand positif ou nul. Le domaine de dérivabilité peut être plus petit. Par exemple, √x est définie pour x ≥ 0, mais sa dérivée usuelle n’existe que pour x > 0. Écrire seulement une formule sans ses conditions peut donc donner une réponse incomplète.

Une fonction constante f(x) = c a pour dérivée zéro : ses images ne varient pas. Pour une fonction affine f(x) = ax + b, la dérivée vaut a, la pente constante de la droite. La fonction carré a pour dérivée 2x ; la fonction cube a pour dérivée 3x². Plus généralement, pour un entier n, la dérivée de xⁿ est nxⁿ⁻¹ sur les intervalles où la fonction et cette expression sont définies.

Pour un entier positif, on utilise cette règle sur ℝ. L’exposant zéro correspond à une fonction constante, de dérivée nulle. Pour un exposant entier négatif, il faut exclure zéro. En particulier, la fonction inverse 1/x a pour dérivée −1/x² sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. On ne peut pas traverser zéro en affirmant qu’elle est dérivable sur tout ℝ.

Pour justifier la dérivée de l’inverse en un réel x non nul, on prend h ≠ 0 assez petit pour que x + h ≠ 0. Le taux de variation vaut [1/(x + h) − 1/x]/h = −1/[x(x + h)]. Quand h se rapproche de zéro, ce quotient tend vers −1/x². On retrouve donc la formule annoncée sur chacun des deux intervalles qui excluent zéro.

La racine carrée a pour dérivée 1/(2√x) pour x > 0. En zéro, le taux de variation à droite vaut √h/h = 1/√h pour h > 0. Il devient arbitrairement grand quand h se rapproche de zéro : aucune limite réelle finie n’existe. Cette démonstration explique l’exclusion de zéro, même si la fonction elle-même y possède la valeur zéro.

Si u et v sont dérivables sur un intervalle, la dérivée de u + v est u’ + v’. Pour un réel constant k, la dérivée de ku est ku’. On peut ainsi dériver un polynôme terme par terme. Les constantes multiplicatives restent en place ; les constantes additives disparaissent. Soustraire correspond à ajouter l’opposé, donc la règle vaut aussi pour une différence.

Pour deux fonctions dérivables u et v, on a (uv)’ = u’v + uv’. Le premier terme décrit la variation de u multipliée par la valeur de v ; le second décrit la variation de v multipliée par la valeur de u. La dérivée d’un produit n’est donc pas le produit des dérivées. Avec x × x, cette fausse règle donnerait 1, alors que la dérivée de x² vaut 2x.

On peut comprendre la formule à partir des taux. Ajouter puis soustraire u(x + h)v(x) au numérateur permet d’écrire le taux du produit comme u(x + h)[v(x + h) − v(x)]/h + v(x)[u(x + h) − u(x)]/h. Quand h tend vers zéro, les deux quotients tendent vers v’(x) et u’(x). Une fonction dérivable étant continue, u(x + h) tend vers u(x) ; on retrouve la règle annoncée.

Selon la question suivante, on choisit de laisser la dérivée factorisée ou de la développer. Une forme factorisée aide souvent à étudier le signe ; une forme développée facilite une substitution numérique. Il n’est pas toujours utile d’allonger les calculs pour obtenir une forme particulière. Le résultat doit surtout être exact, défini sur le bon ensemble et adapté à l’usage prévu.

Si v est dérivable et ne s’annule pas, la dérivée de 1/v est −v’/v². Pour un quotient u/v, avec u et v dérivables et v non nul, on obtient (u/v)’ = (u’v − uv’)/v². L’ordre de la soustraction au numérateur est essentiel. Le carré du dénominateur ne dispense pas d’exclure les points où v vaut zéro.

La règle du quotient découle de celle du produit en écrivant u/v = u × (1/v). La dérivée vaut u’/v − uv’/v², puis la mise au même dénominateur donne la formule. Cette explication aide à reconstruire le résultat si l’on hésite entre le signe plus et le signe moins. Une dérivée de quotient n’est pas non plus le quotient des deux dérivées.

Il existe parfois une simplification avant dérivation. Pour x ≠ 0, (x² + 3x)/x = x + 3. La dérivée vaut donc 1 sur ce domaine. Le calcul ne rend pas la fonction initiale définie en zéro : simplifier une expression n’efface pas les exclusions de son domaine. On conserve cette information dans la réponse même si la formule finale semble valable ailleurs.