Second degré et racines

Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c réels et a ≠ 0. Les trois coefficients se lisent dans l’expression développée et réduite. Dans 2x² − 3x − 5, ils valent 2, −3 et −5. Le signe fait partie du coefficient. Dans x² − 4, le coefficient de x vaut zéro ; le coefficient de x² vaut un, même s’il n’est pas écrit.

Une racine réelle de f est un nombre r tel que f(r) = 0. Chercher les racines revient donc à résoudre l’équation f(x) = 0 dans ℝ. On distingue la fonction, qui associe une image à chaque réel, et l’équation, qui demande quelles abscisses ont pour image zéro. Remplacer x par une valeur supposée solution permet de contrôler cette valeur, mais ne prouve pas que toutes les solutions ont été trouvées.

La figure montre deux racines. Sur la courbe représentative, une racine correspond à un point d’ordonnée zéro. Il faut lire son abscisse sur l’axe horizontal. Un dessin peut suggérer des valeurs entières, mais sa précision ne remplace pas une démonstration algébrique. Si la fenêtre graphique est trop étroite, une intersection peut même rester invisible.

Si f(x) = a(x − r)(x − s), l’équation f(x) = 0 équivaut à x − r = 0 ou x − s = 0, car a est non nul. C’est la règle du produit nul. Lorsque r et s sont distincts, les racines sont exactement r et s. Lorsque r = s, l’écriture devient a(x − r)² et une seule valeur réelle annule le produit.

Avant de calculer le discriminant, observe l’expression. Si c = 0, on peut mettre x en facteur. Si b = 0, une différence de deux carrés peut apparaître. Pour x² − 9, on reconnaît (x − 3)(x + 3), donc les racines sont −3 et 3. Pour x² + 9, aucun réel ne convient, puisque le carré d’un réel est positif ou nul. Des expressions proches exigent donc des raisonnements différents.

Dans la forme x² − sx + p, deux racines r et t doivent vérifier r + t = s et rt = p. Cela vient du développement (x − r)(x − t) = x² − (r + t)x + rt. Ce lien sert à repérer rapidement des racines entières. Il faut ensuite développer la factorisation proposée pour la vérifier. Une intuition de calcul mental devient ainsi une égalité démontrée.

Quand a n’est pas égal à un, la somme des racines vaut −b/a et leur produit vaut c/a, si les racines existent. Le facteur a ne disparaît pas de la factorisation. Par exemple, un polynôme de coefficient dominant 2 et de racines 1 et 4 est 2(x − 1)(x − 4). Le même produit sans le 2 possède les mêmes racines, mais définit une autre fonction.

Le discriminant est Δ = b² − 4ac. Ce nombre dépend des coefficients et permet de décider combien de racines réelles existent. Il ne s’agit pas d’une racine du polynôme. Pour comprendre son rôle, on peut transformer l’équation ax² + bx + c = 0. En multipliant par 4a, nombre non nul, puis en complétant le carré, on obtient l’équation équivalente (2ax + b)² = b² − 4ac = Δ.

Cette égalité explique les trois cas. Si Δ < 0, aucun carré réel ne peut lui être égal, donc il n’y a aucune solution réelle. Si Δ = 0, le carré est nul et 2ax + b = 0, d’où x = −b/(2a). Si Δ > 0, on a 2ax + b = √Δ ou 2ax + b = −√Δ. Les solutions sont alors (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a).

Les parenthèses du dénominateur sont indispensables : on divise tout le numérateur par 2a. Quand a < 0, la formule avec le signe moins devant la racine carrée ne donne pas forcément la plus petite solution. Si l’ordre est utile, compare les valeurs obtenues. Lorsque Δ n’est pas un carré parfait, conserve une écriture exacte avec √Δ avant de chercher une approximation.

Pour g(x) = x² − 2x + 1, on obtient Δ = 4 − 4 = 0. La forme (x − 1)² explique la racine double. Sur la figure, la courbe touche l’axe au lieu de le traverser. Le mot double décrit la répétition du facteur x − 1 ; il ne signifie pas qu’il faudrait écrire deux fois le nombre 1 dans l’ensemble des solutions.

Pour h(x) = x² − 2x + 2, le discriminant vaut 4 − 8 = −4. La forme (x − 1)² + 1 confirme que l’image est toujours au moins égale à un. La figure montre cette absence d’intersection. L’absence de racine réelle n’empêche donc pas une fonction d’être définie pour tous les réels.

Une longueur doit être positive ; un instant peut être limité à un intervalle ; un nombre d’objets doit être entier. Les racines algébriques ne sont donc pas toujours toutes admissibles dans une situation. On résout d’abord l’équation mathématique, puis on revient aux contraintes du problème. Cette dernière phrase de conclusion fait partie du raisonnement, même lorsque les calculs sont corrects.