Signe du trinôme

Étudier le signe de f, c’est déterminer les réels pour lesquels f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0. Ces trois questions concernent les ordonnées de la courbe, comparées à zéro. Elles ne demandent pas si x est lui-même positif. Un nombre négatif peut avoir une image positive ; un nombre positif peut avoir une image négative.

Dans la figure, f(−3) = 5 est positif tandis que f(1) = −3 est négatif. Les deux racines −2 et 2 séparent trois intervalles. La courbe suggère un signe constant sur chacun. L’algèbre permet de le prouver sans dépendre de la précision du tracé : x² − 4 = (x + 2)(x − 2). Il suffit alors de connaître le signe de chaque facteur.

Un produit de deux nombres de même signe est positif ; un produit de deux nombres de signes contraires est négatif ; un produit dont un facteur est nul est nul. Pour x < −2, les deux facteurs x + 2 et x − 2 sont négatifs : leur produit est positif. Entre −2 et 2, seul le premier est positif : le produit est négatif. Au-delà de 2, les deux sont positifs.

Supposons f(x) = a(x − r)(x − s), avec a ≠ 0 et r < s. Pour x < r, les deux différences sont négatives ; pour r < x < s, elles sont de signes opposés ; pour x > s, elles sont positives. Le produit (x − r)(x − s) est donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Multiplier par a conserve ces signes si a > 0 et les inverse si a < 0.

La règle générale est ainsi justifiée : f est du signe de a à l’extérieur des deux racines et du signe opposé entre elles. Aux racines, f vaut zéro. Il faut ranger les racines dans l’ordre croissant avant de dresser le tableau. Avec un coefficient dominant négatif, les formules du discriminant ne les donnent pas toujours spontanément dans cet ordre.

Dans la seconde figure, g(x) = −(x + 2)(x − 2). Le facteur −1 inverse le signe du produit précédent. La parabole tournée vers le bas est positive entre les racines. La phrase « négatif entre les racines » n’est donc pas une règle universelle : elle exige un coefficient dominant positif. Conserver a dans l’écriture factorisée évite cet oubli.

L’écriture d’un ensemble de solutions est la dernière étape, pas une décoration. Les inégalités strictes < et > excluent les zéros du polynôme. Les inégalités larges ≤ et ≥ peuvent les inclure. L’infini n’est jamais un nombre appartenant à l’intervalle : les crochets restent toujours ouverts en −∞ et +∞.

Quand le discriminant est nul, on peut écrire f(x) = a(x − r)². Un carré est positif ou nul, et s’annule uniquement pour x = r. Le polynôme garde donc le signe de a pour tout x différent de r, et vaut zéro en r. Il ne change pas de signe au passage de cette racine double. Graphiquement, la parabole touche l’axe horizontal sans le traverser.

Par exemple, (x + 3)² ≤ 0 équivaut à (x + 3)² = 0 : la seule solution est −3. En revanche, (x + 3)² < 0 n’a aucune solution réelle. Enfin, (x + 3)² > 0 a pour solutions tous les réels sauf −3. Ces trois résultats sont différents même si l’expression est identique. Le symbole de comparaison doit être relu avant la conclusion.

Quand le discriminant est négatif, le polynôme n’a aucune racine réelle et garde strictement le signe de a sur ℝ. On peut le comprendre par la forme canonique a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. Si Δ < 0, la quantité entre crochets est un carré augmenté d’un nombre strictement positif ; elle est donc toujours strictement positive. Le facteur a décide seul du signe final.

Pour x² + 2x + 5, on reconnaît (x + 1)² + 4, strictement positif. L’inéquation x² + 2x + 5 ≤ 0 n’a aucune solution. L’inéquation opposée x² + 2x + 5 > 0 a tous les réels pour solutions. Il est inutile d’inventer des racines ou de calculer une racine carrée d’un nombre négatif dans une résolution sur ℝ.

Comparer deux fonctions f et g revient à étudier f(x) − g(x). En effet, f(x) ≤ g(x) équivaut à f(x) − g(x) ≤ 0. On ramène donc le problème à une comparaison avec zéro. Cette méthode s’applique aussi à une comparaison avec une constante, en remplaçant g(x) par cette constante. Il faut développer et réduire la différence avec soin, surtout lorsque l’on soustrait une parenthèse.