Suites géométriques

Une suite (uₙ) est géométrique s’il existe un réel q tel que uₙ₊₁ = quₙ pour chaque rang concerné. Le nombre q est la raison géométrique. Quand les termes sont non nuls, on peut reconnaître cette propriété en calculant le quotient uₙ₊₁/uₙ : il doit être constant. La définition par multiplication reste utilisable même lorsqu’un terme vaut zéro, contrairement au quotient.

Dans cette figure, chaque valeur vaut deux fois la précédente. La différence entre termes vaut successivement 3, 6, 12, 24 puis 48 ; elle n’est pas constante. La suite est donc géométrique de raison 2, et non arithmétique. Un taux d’évolution constant implique un coefficient multiplicateur constant, tandis qu’un accroissement absolu constant conduit à une suite arithmétique.

Une hausse de t % se traduit par q = 1 + t/100. Une baisse de t % se traduit par q = 1 − t/100. Pour une hausse de 5 %, on multiplie par 1,05, et non par 0,05. Pour une baisse de 20 %, on multiplie par 0,8. Les pourcentages successifs portent sur les nouvelles valeurs : leurs effets se multiplient.

Si u₀ est connu, les multiplications successives donnent u₁ = u₀q, u₂ = u₀q², puis uₙ = u₀qⁿ. L’exposant compte le nombre de passages depuis le rang initial. Pour une suite commençant au rang 1, on écrit uₙ = u₁qⁿ⁻¹. Plus généralement, uₙ = uₚqⁿ⁻ᵖ pour n ≥ p. Pour remonter vers un rang inférieur, cette formule exige q ≠ 0.

Le cas q = 0 se traite directement avec la récurrence : tous les termes à partir du suivant du terme initial sont nuls. On n’a pas besoin de donner un sens à une puissance 0⁰. Si q = 1, la suite est constante. Si le terme initial est nul, tous les termes suivants sont nuls quelle que soit la raison choisie.

Pour étudier la variation, on calcule uₙ₊₁ − uₙ = uₙ(q − 1). Si u₀ > 0 et q > 0, tous les termes sont positifs : le signe de la différence est celui de q − 1. La suite est strictement croissante pour q > 1, strictement décroissante pour 0 < q < 1, et constante pour q = 1.

La seconde figure illustre une décroissance de raison 1/2. Les valeurs se rapprochent de zéro sans devenir nulles à un rang fini. Ce comportement donne une intuition de limite, sans qu’une formalisation soit nécessaire ici. Dire que la suite tend vers zéro ne signifie pas qu’elle atteint zéro. Dans une mesure réelle, la précision disponible peut masquer les très petites valeurs du modèle.

Si le terme initial est négatif et la raison positive, le sens de variation est inversé par rapport au cas positif. Par exemple, −2 × 2ⁿ donne −2, −4, −8 : la suite décroît alors que q > 1. Si q < 0 et u₀ ≠ 0, les signes alternent ; on ne peut pas appliquer directement la règle des termes positifs. Pour q = −1, les deux valeurs opposées se répètent.

Considérons A = 1 + q + q² + … + qⁿ. Multiplier par q donne qA = q + q² + … + qⁿ⁺¹. En soustrayant la seconde égalité de la première, les termes intermédiaires s’éliminent : A − qA = 1 − qⁿ⁺¹. Pour q ≠ 1, on obtient A = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

L’exposant n + 1 correspond au nombre de termes, car la somme commence à q⁰ = 1. Pour une somme de N termes consécutifs commençant par uₚ, la formule devient S = uₚ(1 − qᴺ)/(1 − q), avec N = n − p + 1 si le dernier terme est uₙ. Lorsque q = 1, on n’utilise pas cette fraction : S = Nuₚ.

La démonstration explique pourquoi une somme finie peut avoir une écriture courte. Elle évite de mémoriser une formule sans connaître les rangs auxquels elle s’applique. Les deux écritures (1 − qᴺ)/(1 − q) et (qᴺ − 1)/(q − 1) sont égales, puisque l’on change simultanément le signe du numérateur et celui du dénominateur. Changer un seul de ces signes serait incorrect.

Pour des données moins simples, un tableur ou un algorithme répète la multiplication et compare chaque nouvelle valeur au seuil. On initialise le rang à zéro et la quantité à sa valeur de départ, puis on avance tant que la condition d’arrivée n’est pas satisfaite. La comparaison doit refléter exactement les mots « au moins », « dépasse », « au plus » ou « strictement inférieur ».

Avant une recherche répétée, on étudie la direction de l’évolution et les valeurs possibles. Une suite positive de raison comprise entre zéro et un ne dépassera pas un seuil supérieur à sa valeur initiale. Une suite de raison supérieure à un et de départ positif ne descendra pas sous une valeur plus petite. Cette vérification évite de chercher indéfiniment un rang qui n’existe pas.