Variations et optimisation

On considère une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f’ est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I. Si f’ est négative ou nulle, f est décroissante. Si f’ est identiquement nulle sur I, f est constante. Les hypothèses sur l’intervalle sont essentielles : des morceaux séparés du domaine ne peuvent pas être réunis sans réflexion.

Croissante signifie que pour a < b dans l’intervalle, f(a) ≤ f(b). Strictement croissante signifie que l’inégalité entre les images est stricte. Une dérivée strictement positive sur l’intervalle donne une croissance stricte. Une dérivée qui s’annule en quelques points isolés peut aussi correspondre à une fonction strictement croissante ; il faut analyser la situation, pas appliquer une réciproque fausse.

Le signe de f’ ne doit pas être confondu avec celui de f. Une fonction peut décroître tout en restant positive, ou croître avec des valeurs négatives. Dans un tableau de variations, la ligne des signes concerne la dérivée et les flèches concernent la fonction initiale. Les valeurs inscrites aux extrémités des flèches sont celles de f, pas celles de f’.

Si la dérivée passe du signe positif au signe négatif en a, la fonction croît puis décroît : elle possède un maximum local en a. Si elle passe du négatif au positif, on obtient un minimum local. Pour une fonction dérivable, un extremum situé à l’intérieur de l’intervalle entraîne f’(a) = 0. La condition d’intériorité compte : une borne peut porter un extremum sans pente nulle.

La courbe de x³ montre pourquoi la réciproque est fausse. Sa dérivée 3x² s’annule en zéro mais reste positive de chaque côté. La fonction traverse ce point en continuant à croître ; elle n’y possède ni maximum ni minimum. Résoudre f’(x) = 0 donne donc des candidats à examiner, pas une liste automatique d’extrema.

Sur un intervalle fermé et borné, pour les fonctions continues étudiées ici, on compare les valeurs aux points critiques intérieurs et aux deux bornes. Un tableau de variations permet de réduire cette comparaison aux candidats pertinents. Sur un intervalle ouvert, une valeur extrême peut ne pas être atteinte : la fonction f(x) = x sur ]0 ; 1[ est croissante mais n’a ni maximum ni minimum sur cet intervalle.

Pour un trinôme ax² + bx + c, la dérivée est 2ax + b. Elle s’annule en −b/(2a). Si a > 0, son signe passe du négatif au positif : le sommet porte un minimum sur ℝ. Si a < 0, il porte un maximum. Sur un intervalle restreint, on conserve uniquement les points appartenant au domaine et l’on examine aussi les bornes.

Un problème d’optimisation commence par le choix d’une variable et de son domaine. On traduit ensuite la grandeur à optimiser en fonction de cette variable. Les contraintes permettent souvent d’exprimer toutes les autres quantités à l’aide d’une seule. Dériver avant ce travail peut produire des calculs corrects sur une fonction qui ne représente pas la question posée.

La figure montre l’aire sur l’intervalle fermé [0 ; 6] pour visualiser aussi les limites dégénérées d’aire nulle. Le rectangle demandé impose des dimensions strictement positives, mais le maximum intérieur x = 3 reste admissible. La conclusion doit distinguer la valeur optimale, ici une aire, et les valeurs de variables qui la réalisent, ici des longueurs. Leurs unités sont différentes.

Une modélisation peut aussi être économique : recettes, coûts et bénéfices ne désignent pas la même fonction. Si l’on cherche un bénéfice maximal, on doit former recettes moins coûts avant l’étude. Si la variable représente un nombre entier d’objets, une optimisation continue donne des candidats voisins, puis il faut comparer les entiers admissibles. Arrondir mécaniquement l’optimum réel n’est pas une justification suffisante.

Pour prouver f(x) ≥ g(x), on peut étudier la différence H(x) = f(x) − g(x). Si les variations montrent que son minimum vaut zéro sur l’intervalle, alors H est positive ou nulle partout sur cet intervalle. Cette démarche justifie une infinité de comparaisons à partir d’une étude structurée. Vérifier quelques valeurs ne donnerait qu’une illustration.

Une symétrie peut réduire l’étude d’une fonction. Si f(−x) = f(x), on dit que f est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Si f(−x) = −f(x), elle est impaire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Le domaine doit être symétrique lui aussi. Ces propriétés aident à représenter une courbe et à contrôler un résultat, sans remplacer le calcul des variations nécessaires.