Cercle trigonométrique

Une rotation ne se décrit pas seulement par une ouverture entre deux segments. Elle possède un sens et peut dépasser un tour. Pour la représenter, on utilise un repère orthonormé (O ; I, J), où les axes sont perpendiculaires et les unités identiques. Le cercle trigonométrique a pour centre O et pour rayon 1. Son sens positif va de I vers J par le chemin le plus court, à l’inverse du déplacement habituel des aiguilles d’une montre.

Sur un cercle de rayon r, un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur r. Pour un angle positif de mesure θ radians parcouru sans changer de sens, la longueur d’arc vaut rθ. Le périmètre étant 2πr, un tour mesure 2π radians, un demi-tour π radians et un quart de tour π/2 radian. Le radian relie directement une longueur parcourue et un rayon, sans partager arbitrairement le tour en 360 parts.

Pour convertir une mesure en degrés en radians, on multiplie par π/180. Pour le trajet inverse, on multiplie par 180/π. Ainsi, 30°, 45° et 60° correspondent respectivement à π/6, π/4 et π/3. Il faut garder les valeurs exactes : π/3 et 1,05 ne désignent pas exactement le même nombre. Une mesure négative décrit une rotation dans le sens négatif ; la longueur physique de l’arc parcouru, elle, reste positive.

Imagine une droite graduée enroulée sur le cercle, avec son origine placée en I. Un réel x positif indique un déplacement de longueur x dans le sens positif sur le cercle unité. Un réel négatif indique un déplacement de longueur |x| dans l’autre sens. Le point d’arrivée est l’image de x. Le déplacement garde une trace du nombre de tours, mais le point d’arrivée ne la garde pas.

Deux réels ont la même image si leur différence est un multiple entier de 2π : x et x + 2kπ correspondent au même point pour tout entier relatif k. Il existe donc une infinité de réels pour un même point. Pour placer un nombre, on peut lui ajouter ou lui retirer plusieurs tours afin d’obtenir une mesure plus facile à situer. Les bornes de l’intervalle choisi doivent être respectées : dans [0 ; 2π[, on garde 0 et on exclut 2π.

La démarche se fait en deux temps. D’abord, on réduit les tours complets en calculant exactement avec les fractions de π. Ensuite, on se repère par rapport aux quarts de tour 0, π/2, π et 3π/2. Le signe d’une mesure ne donne pas directement le signe de ses coordonnées. Par exemple, une rotation positive peut aboutir dans n’importe lequel des quatre quadrants.

Si M est l’image du réel x sur le cercle trigonométrique, on définit cos(x) comme l’abscisse de M et sin(x) comme son ordonnée. On écrit donc M(cos(x) ; sin(x)). Ces définitions s’appliquent à tous les réels. Dans le premier quadrant, le triangle rectangle obtenu en projetant M sur l’axe horizontal retrouve les rapports étudiés au collège : l’hypoténuse vaut 1, le côté adjacent donne le cosinus et le côté opposé donne le sinus.

Les coordonnées des quatre points portés par les axes se lisent immédiatement : pour 0, on obtient (1 ; 0) ; pour π/2, (0 ; 1) ; pour π, (−1 ; 0) ; pour 3π/2, (0 ; −1). Dans tous les cas, −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1. Comme OM = 1, le théorème de Pythagore fournit cos²(x) + sin²(x) = 1. L’écriture cos²(x) signifie le carré de cos(x).

Voici pourquoi les valeurs remarquables sont exactes. Pour π/4, les deux côtés de l’angle droit sont égaux dans un triangle rectangle isocèle d’hypoténuse 1. Si leur longueur est a, alors 2a² = 1, donc a = √2/2. Pour π/3, on coupe un triangle équilatéral de côté 1 par une hauteur. La demi-base vaut 1/2 et la hauteur vaut √(1 − 1/4) = √3/2. On obtient cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Les valeurs à π/6 s’échangent par complémentarité.

La symétrie par rapport à l’axe horizontal conserve l’abscisse et inverse l’ordonnée : cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x). Celle par rapport à l’axe vertical donne cos(π − x) = −cos(x) et sin(π − x) = sin(x). Un demi-tour inverse les deux coordonnées : cos(x + π) = −cos(x) et sin(x + π) = −sin(x). Ces relations se comprennent en suivant le point ; elles ne sont pas des signes à deviner.