Produit scalaire

Deux vecteurs possèdent une direction, un sens et une norme. Le produit scalaire combine ces informations pour produire un nombre réel. Pour deux vecteurs non nuls u et v, on pose u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ), où θ est l’angle non orienté entre leurs représentants de même origine, compris entre 0 et π. Si l’un des vecteurs est nul, leur produit scalaire vaut 0 ; on n’a alors pas besoin de lui attribuer un angle.

Une autre lecture utilise une projection. Prenons u = OA et v = OB, avec A différent de O, et appelons H le projeté orthogonal de B sur la droite (OA). Si H est sur la demi-droite [OA), le produit vaut OA × OH. Si H est de l’autre côté de O, il vaut −OA × OH. Si H = O, il vaut 0. La projection apporte donc une longueur algébrique, qui peut être négative, et pas seulement une longueur de segment.

Le signe traduit la position relative des vecteurs non nuls : un angle strictement aigu donne un produit positif ; un angle strictement obtus donne un produit négatif ; un angle droit donne zéro. Deux vecteurs colinéaires de même sens donnent le produit de leurs normes, et deux vecteurs colinéaires de sens contraires son opposé. Le signe seul ne permet pas de retrouver un angle exact.

Dans un repère orthonormé, si u = (x ; y) et v = (x′ ; y′), alors u · v = xx′ + yy′. De même, ‖u‖² = x² + y² et ‖u‖ = √(x² + y²). L’hypothèse orthonormée est essentielle : les axes sont perpendiculaires et les vecteurs de base ont la norme 1. On ne peut pas recopier cette formule dans une base quelconque.

Pour calculer un produit à partir de points, commence par former les vecteurs. AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Il faut soustraire dans le même ordre sur les deux coordonnées. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, mais il ne donne pas de direction à une droite. Pour conclure que deux droites sont perpendiculaires, utilise des vecteurs directeurs non nuls.

Le produit scalaire est symétrique : u · v = v · u. Il est aussi bilinéaire, ce qui signifie qu’il se distribue sur les sommes et respecte la multiplication par un réel : u · (v + w) = u · v + u · w et (ku) · v = k(u · v). Ces propriétés permettent de développer des expressions. En particulier, u · u = ‖u‖², donc ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u · v + ‖v‖² et ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2u · v + ‖v‖².

Ces formules donnent une quatrième méthode : u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2. Elle est utile lorsque les normes et celle de la somme sont connues. Dans une base orthonormée (i, j), si u = xi + yj, on obtient aussi u · i = x et u · j = y. En effet, i · i = j · j = 1 et i · j = 0 : le produit scalaire retrouve les coordonnées comme projections.

La formule d’Al-Kashi prolonge Pythagore aux triangles qui ne sont pas rectangles. Dans le triangle ABC, l’identité vectorielle qui exprime le vecteur BC comme la différence des vecteurs AC et AB donne, par développement du carré de norme, BC² = AC² + AB² − 2 AB · AC. En utilisant le cosinus de l’angle en A, on obtient BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos(BAC). Si l’angle est droit, son cosinus vaut zéro : on retrouve Pythagore. Si l’angle est obtus, le terme retranché est négatif et le côté opposé devient plus grand.

La formule sert aussi dans l’autre sens. Si les trois côtés sont connus et AB × AC est non nul, alors cos(BAC) = (AB² + AC² − BC²)/(2 AB × AC). On vérifie que le résultat appartient à [−1 ; 1]. Pour un angle non remarquable, une mesure approchée peut être obtenue avec la fonction cosinus inverse d’une calculatrice, en précisant l’unité demandée.

Étudions maintenant l’expression MA · MB. Soit I le milieu de [AB]. Par Chasles, MA = MI + IA et MB = MI + IB = MI − IA. La bilinéarité et la symétrie annulent les termes croisés : MA · MB = ‖MI‖² − ‖IA‖². Cette transformation remplace deux vecteurs variables par une distance au milieu et un rayon fixe.