Fonction exponentielle

On admet l’existence et l’unicité d’une fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée est elle-même et dont la valeur en zéro est 1. Cette fonction est la fonction exponentielle, notée exp. Elle vérifie exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1. On note e le nombre exp(1), environ égal à 2,71828, et l’on écrit aussi exp(x) = eˣ.

La courbe montre une fonction strictement positive et strictement croissante. Elle ne coupe jamais l’axe horizontal. En particulier, eˣ = 0 n’a aucune solution réelle, et eˣ est définie même lorsque x est négatif. Un exposant négatif ne rend pas la valeur négative : e⁻ˣ est l’inverse de eˣ. L’exposant et la valeur de l’exponentielle ne jouent donc pas le même rôle.

Les propriétés algébriques expliquent cette positivité. Pour tout x, exp(x)exp(−x) = 1, donc exp(x) ne peut pas être nul. De plus, exp(x) = exp(x/2)² : cette valeur est un carré non nul, donc strictement positif. Comme la dérivée de exp est exp, sa dérivée est strictement positive, ce qui établit sa croissance stricte sur ℝ.

Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a)exp(b). Avec la notation puissance, on écrit eᵃ⁺ᵇ = eᵃeᵇ. On en déduit eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ et e⁻ᵃ = 1/eᵃ. Pour un entier n, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Ces propriétés prolongent les règles connues sur les puissances entières ; elles s’appliquent ici à des exposants réels.

La règle du produit ne doit pas être confondue avec une règle de somme. On n’a pas en général eᵃ + eᵇ = eᵃ⁺ᵇ. Pour a = b = 0, le membre de gauche vaut 2 et celui de droite vaut 1 : un seul contre-exemple suffit à réfuter une égalité annoncée pour tous les réels. Quand on simplifie une expression, on vérifie donc quelle opération relie les exponentielles.

La croissance stricte permet de comparer des exponentielles sans les calculer. On a exp(u) = exp(v) si et seulement si u = v, et exp(u) < exp(v) si et seulement si u < v. Ces équivalences valent pour toutes les valeurs réelles des exposants. Elles ne permettent pas de comparer directement deux produits différents sans transformation préalable.

Quand le second membre est une constante écrite comme une exponentielle, une équation se ramène ainsi à une équation sur les exposants. Par exemple, exp(3x) = exp(6) équivaut à 3x = 6. Si une constante n’est pas présentée sous cette forme, on peut recourir à une résolution approchée selon les outils autorisés, sans inventer une règle de simplification.

La dérivée de exp(x) est exp(x). Pour un réel a, la dérivée de exp(ax) est aexp(ax). Avec un décalage constant b, la dérivée de exp(ax + b) est aexp(ax + b). On peut retrouver ce dernier résultat en écrivant exp(ax + b) = exp(b)exp(ax), où exp(b) est un multiplicateur constant.

Pour un modèle Q(t) = Ceᵃᵗ, avec C constant, on obtient Q’(t) = aCeᵃᵗ. Si C > 0, le signe de la dérivée est celui de a. Le modèle est croissant pour a > 0, décroissant pour a < 0 et constant pour a = 0. L’exponentielle ne change jamais de signe ; ce sont les autres facteurs de la dérivée qui décident de ses signes.

Une autre façon d’approcher la courbe est la méthode d’Euler. Comme exp’ = exp, une petite avance h à partir d’une valeur y donne l’approximation y suivant ≈ y + hy = (1 + h)y. En répétant cette mise à jour depuis y = 1, on obtient une suite géométrique qui approche la courbe sur des durées fixées lorsque le pas devient petit.

Avec un pas h = 1/n et n étapes, la durée totale vaut 1 et la valeur approchée est (1 + 1/n)ⁿ. Cette construction fournit des approximations de e. Chaque valeur finie reste une approximation : elle ne doit pas être confondue avec l’égalité exacte exp(1) = e. L’intérêt est de relier une information sur la pente à la construction progressive de la courbe.

Le modèle de la figure est Q(t) = 100exp(−0,5t), pour t ≥ 0. Il représente une quantité abstraite exprimée en unités ; aucune mesure expérimentale n’est supposée. Pour une durée supplémentaire h, le rapport Q(t + h)/Q(t) vaut exp(−0,5h), indépendamment de t. Des durées égales produisent donc des multiplications égales, même si les pertes absolues diminuent avec la quantité restante.

En observant Ceᵃᵗ aux instants entiers, on obtient uₙ = C(eᵃ)ⁿ, suite géométrique de raison q = eᵃ. Le paramètre a n’est donc pas directement un pourcentage d’évolution par unité de temps. Le taux discret correspondant est eᵃ − 1. Pour a = 0,1, ce taux vaut environ 10,52 %, et non exactement 10 %. Confondre ces deux nombres introduit une erreur de modèle.

Une évolution réelle ne suit une loi exponentielle que sous certaines hypothèses. Un apport fixe, un taux variable ou une saturation peuvent modifier la règle. Il faut donc préciser la quantité, l’unité de temps, la valeur initiale et le domaine de pertinence. Une courbe bien ajustée sur quelques observations ne garantit pas qu’elle restera pertinente pour un futur éloigné.