Géométrie repérée

Dans tout ce chapitre, le repère est orthonormé : les axes sont perpendiculaires et portent la même unité. Cette hypothèse permet d’utiliser à la fois les coordonnées et les distances. Une équation cartésienne de droite s’écrit ax + by + c = 0, avec (a ; b) différent de (0 ; 0). Elle décrit l’ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées vérifient cette égalité.

Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul perpendiculaire à sa direction. Pour la droite ax + by + c = 0, n = (a ; b) est normal et u = (−b ; a) est directeur : leur produit scalaire vaut a(−b) + ba = 0. Les coefficients du vecteur normal se lisent donc directement dans l’équation, sans calculer de pente. Cette méthode fonctionne aussi pour les droites verticales.

Si A(xA ; yA) est un point connu et n = (a ; b) un vecteur normal, M appartient à la droite exactement lorsque AM · n = 0. En coordonnées, cela donne a(x − xA) + b(y − yA) = 0. En développant, on obtient l’équation cartésienne. Réciproquement, vérifier que A satisfait l’équation et que le vecteur annoncé est normal permet de contrôler le résultat.

Le projeté orthogonal H d’un point P sur une droite d est le point de d tel que PH est perpendiculaire à d. Si P est déjà sur d, alors H = P. Sinon, H est l’intersection de d avec la perpendiculaire à d passant par P. Le segment [PH] donne le chemin le plus court pour rejoindre la droite depuis P.

La projection se traduit par deux contraintes indépendantes. D’une part, H appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient son équation. D’autre part, PH est parallèle à un vecteur normal de d. On peut donc écrire H = P + tn pour un réel t. En substituant les coordonnées de H dans l’équation de d, on détermine t. Il reste à revenir aux coordonnées de H et à vérifier les deux contraintes.

Pourquoi la projection donne-t-elle la plus courte distance ? Pour tout autre point M de d, le triangle PHM est rectangle en H. Pythagore donne PM² = PH² + HM² ≥ PH², donc PM ≥ PH. L’égalité n’est possible que si HM = 0, c’est-à-dire pour M = H. Cette démonstration relie la propriété géométrique à la construction calculée.

Deux droites de vecteurs normaux colinéaires sont parallèles, éventuellement confondues. Pour distinguer ces deux cas, on teste un point ou on compare les équations complètes. Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Le produit scalaire évite de discuter des coefficients directeurs, dont certains ne sont pas définis pour une droite verticale.

Le cercle de centre I(a ; b) et de rayon r strictement positif est l’ensemble des points M tels que IM = r. En élevant au carré dans un repère orthonormé, on obtient (x − a)² + (y − b)² = r². Le signe devant a ou b dans la parenthèse est opposé à celui de la coordonnée. Si l’équation comporte (y + 1)², l’ordonnée du centre est −1.

Pour passer d’une forme développée à la forme centrée, on complète deux carrés. L’identité x² + αx = (x + α/2)² − (α/2)² permet de regrouper le terme en x² et celui en x, puis on procède de même pour y. On rassemble ensuite les constantes de l’autre côté. Le membre de droite doit être strictement positif pour obtenir un véritable cercle ; s’il vaut zéro, l’ensemble est réduit au centre, et s’il est négatif, il est vide.

Une équation permet aussi de comparer des positions. Pour le cercle (x − a)² + (y − b)² = r², un point dont la somme des carrés est inférieure à r² est à l’intérieur ; si elle est supérieure, il est à l’extérieur. Il n’est pas nécessaire de calculer une racine pour faire cette comparaison. On garde ainsi des calculs exacts.

Le lien avec les droites apparaît naturellement lorsqu’on cherche une tangente. Au point A d’un cercle de centre I, le rayon IA est normal à la tangente. On connaît alors un point et un vecteur normal : l’équation se construit comme dans la première section. Pour le cercle de la figure, IA = (3 ; 0), donc la tangente en A est la droite verticale x = 5.