Probabilités conditionnelles

Une probabilité conditionnelle décrit une expérience dont on restreint les issues possibles à celles d’un événement connu. Si on choisit au hasard une personne dans une population, puis qu’on apprend qu’elle appartient à un groupe A, les calculs portent désormais sur ce groupe. La question « quelle proportion vérifie B parmi les membres de A ? » ne possède plus le même dénominateur que la question portant sur toute la population.

Pour P(A) > 0, on note P_A(B), ou P(B | A), la probabilité de B sachant A. Par définition, P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). L’intersection A ∩ B signifie que les deux événements sont réalisés. La condition A indique ce qu’on sait déjà. On ne peut pas utiliser cette division si P(A) = 0. Quand les données sont des effectifs et que le tirage est uniforme, le quotient se simplifie en effectif de A ∩ B divisé par effectif de A.

Dans un même univers conditionné par A, les événements B et son contraire B̄ restent complémentaires : P_A(B̄) = 1 − P_A(B). En revanche, P_A(B) et P_Ā(B) ne sont pas complémentaires : les deux calculs ne portent pas sur la même population. Leurs valeurs peuvent toutes deux être élevées ou toutes deux être faibles.

Un arbre pondéré organise des événements par niveaux. La première séparation décrit des cas possibles dans l’univers initial. Chaque séparation suivante décrit les possibilités sachant le chemin déjà parcouru. Les nombres portés après un événement A sont donc des probabilités conditionnelles sachant A, et non des probabilités calculées dans tout l’univers.

À chaque nœud atteint avec une probabilité non nulle, la somme des branches sortantes vaut 1. La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités de ses branches. Ce produit traduit la formule P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). On multiplie même lorsque les événements ne sont pas indépendants : c’est précisément la conditionnelle qui prend en compte leur éventuelle dépendance.

Pour construire l’arbre à partir d’un texte, nomme d’abord les événements et traduis chaque proportion avec des mots. « Parmi les pièces de A, 3 % sont défectueuses » donne P_A(D). « 40 % de la production vient de A » donne P(A). La différence entre « parmi » et « sur l’ensemble » est souvent le point décisif. Complète les branches complémentaires seulement après cette traduction.

Une partition de l’univers est une liste d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est tout l’univers. Chaque issue appartient à un et un seul de ces événements. Pour calculer P(E), on découpe E selon ces provenances : les événements E ∩ A, E ∩ B, E ∩ C sont incompatibles et recouvrent E. On peut donc additionner leurs probabilités.

Pour une partition A, B, C dont les événements ont une probabilité non nulle, la formule des probabilités totales donne P(E) = P(A)P_A(E) + P(B)P_B(E) + P(C)P_C(E). Ce résultat est une moyenne pondérée des taux conditionnels. Ce n’est pas leur moyenne ordinaire, sauf si les poids sont égaux. La même démarche fonctionne avec deux cas, notamment A et Ā lorsque 0 < P(A) < 1.

La formule peut aussi servir à retrouver une proportion inconnue. On appelle x le poids du premier cas et 1 − x celui du second, puis on exprime le taux global. L’équation obtenue doit conduire à x dans [0 ; 1]. Un résultat en dehors de cet intervalle signale soit une erreur de calcul, soit des données incompatibles avec le modèle choisi.