Indépendance et Bernoulli

Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B). Si P(A) > 0, cette relation équivaut à P_A(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Si P(B) > 0, elle équivaut aussi à P_B(A) = P(A). La définition par le produit reste utilisable même quand une probabilité vaut zéro.

L’indépendance est une propriété précise d’un modèle probabiliste. Pour des tirages avec remise et brassage identique, elle peut faire partie du modèle choisi. Pour des lancers physiques distincts, on la pose en tenant compte des conditions de l’expérience. Le fait que deux événements portent des noms différents ou se produisent à des instants différents ne suffit jamais à la prouver.

Si A et B sont indépendants, A et B̄ le sont aussi. En effet, P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B̄). On retrouve de la même manière l’indépendance de Ā et B, puis de Ā et B̄. Cette propriété explique pourquoi toutes les branches d’un deuxième essai indépendant peuvent garder les mêmes poids.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues que l’on appelle succès S et échec E. La probabilité du succès est un nombre p dans [0 ; 1] ; celle de l’échec vaut 1 − p. Les mots succès et échec sont des étiquettes : un défaut peut être appelé succès si c’est l’événement que l’on cherche à compter. Il faut toujours annoncer ce choix.

Deux épreuves de Bernoulli identiques ont la même probabilité de succès. Elles sont indépendantes si le résultat de la première ne change pas les probabilités de la seconde. Ce sont deux hypothèses distinctes. Deux machines peuvent être indépendantes tout en ayant des taux de réussite différents. Deux tirages sans remise dans une urne ont souvent des résultats dépendants, même si on s’intéresse à la même couleur à chaque fois.

Un chemin est une suite ordonnée. SE et ES ne décrivent pas la même issue, même s’ils donnent le même nombre de succès et, dans ce modèle, la même probabilité. C’est cette distinction qui évite d’oublier des possibilités. Quand la question porte sur le nombre de succès, on regroupe plusieurs chemins ; quand elle impose un ordre, on garde uniquement les chemins compatibles avec cet ordre.

Pour trois ou quatre répétitions indépendantes et identiques, on poursuit l’arbre en répétant à chaque nœud les poids p et 1 − p. Un chemin comportant k succès et n − k échecs a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Pour obtenir exactement k succès, il faut repérer tous les chemins correspondants et les additionner. Ici, on étudie explicitement des arbres avec au plus quatre essais.

Pour trois essais, les nombres de chemins donnant respectivement zéro, un, deux et trois succès sont 1, 3, 3 et 1. On peut les retrouver en listant les positions des succès : un seul succès peut être placé au premier, au deuxième ou au troisième essai. Lorsque p = 1/2, chacun des huit chemins a la même probabilité 1/8. Lorsque p diffère de 1/2, les chemins n’ont pas tous le même poids.

On peut contrôler la liste sans tout mémoriser. Pour quatre essais et deux succès, les positions possibles sont (1 ; 2), (1 ; 3), (1 ; 4), (2 ; 3), (2 ; 4) et (3 ; 4). Chaque paire donne un chemin et aucun chemin n’apparaît deux fois. Pour les autres nombres de succès, les effectifs de chemins sont 1, 4, 6, 4 et 1 ; leur somme vaut 16, ce qui contrôle la couverture de l’arbre.

Si le succès a une probabilité p quelconque, les six chemins à deux succès ont chacun le poids p²(1 − p)². Leur somme vaut alors 6p²(1 − p)². On peut utiliser cette expression après avoir justifié les six chemins. Le comptage des positions et le calcul du poids sont deux étapes différentes ; on ne remplace pas automatiquement la probabilité d’un chemin par 1/16.