Variables aléatoires

Une expérience aléatoire possède des issues, mais la question peut porter sur un nombre associé à chacune : un gain, un nombre de succès ou une durée choisie dans un ensemble fini de valeurs. Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe à chaque issue de l’univers un nombre réel. Plusieurs issues différentes peuvent donner la même valeur de X.

La loi de X indique ses valeurs possibles x₁, x₂, … et les probabilités P(X = xᵢ) correspondantes. Pour la construire, on recense les issues puis on regroupe celles qui donnent le même nombre. Les probabilités de la loi sont positives ou nulles et ont pour somme 1. Les valeurs de X, elles, peuvent être négatives et ne doivent pas avoir pour somme 1.

Un événement comme {X ≤ 0} regroupe les issues dont la valeur est au plus zéro. Sa probabilité se calcule en additionnant les probabilités des valeurs correspondantes, qui sont incompatibles. Pour la loi précédente, perdre de l’argent signifie X < 0 et a pour probabilité 3/5. L’espérance nulle ne supprime donc pas le risque de perdre.

Pour une variable aléatoire de loi P(X = xᵢ) = pᵢ, l’espérance est E(X) = Σ xᵢpᵢ. Le symbole Σ indique qu’on additionne les produits pour toutes les valeurs possibles. La pondération est indispensable : une valeur très rare contribue moins à cette moyenne qu’une valeur fréquente. Si les valeurs sont toutes équiprobables, l’espérance devient leur moyenne ordinaire.

L’espérance s’exprime dans la même unité que X. Elle se situe entre la plus petite et la plus grande valeur possible, mais n’est pas nécessairement une valeur de la variable. Elle indique une moyenne théorique, pas le résultat garanti d’une partie. Lors de nombreuses répétitions indépendantes du même modèle, la moyenne observée tend à se stabiliser près de cette valeur ; un petit nombre de répétitions peut s’en écarter fortement.

L’espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX + b) = aE(X) + b pour tous réels a et b. L’addition des espérances ne nécessite pas l’indépendance de X et de Y. Pour comprendre la première formule, on peut sommer sur toutes les issues : chaque valeur de X + Y s’écrit comme une somme, puis la distributivité sépare les deux contributions.

Pour juger un jeu à gain net, on le dit favorable au joueur si son espérance est positive, défavorable si elle est négative, équitable si elle est nulle. Ce vocabulaire ne juge que la moyenne théorique. Deux jeux d’espérance nulle peuvent avoir des pertes possibles très différentes. Il faut donc compléter ce premier indicateur par une mesure de dispersion.

L’espérance ne mesure pas l’éloignement des résultats par rapport à la moyenne. Pour cela, on utilise la variance V(X) = E((X − E(X))²), c’est-à-dire V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − m)² avec m = E(X). Chaque écart à la moyenne est élevé au carré, ce qui empêche la compensation entre les écarts positifs et négatifs. La variance est donc toujours positive ou nulle.

Une autre expression, la formule de König-Huygens, simplifie le calcul : V(X) = E(X²) − E(X)². En développant (X − m)² = X² − 2mX + m² puis en prenant l’espérance, on obtient E(X²) − 2mE(X) + m², soit E(X²) − m². Attention : E(X²) se calcule en élevant les valeurs au carré avant la moyenne ; ce n’est généralement pas le carré de la moyenne.

L’écart type σ(X) est la racine carrée de la variance. Contrairement à la variance, il retrouve l’unité de X : pour un gain en euros, la variance est en euros carrés et l’écart type en euros. Il mesure une dispersion ; ce n’est ni une probabilité ni un écart maximal. Une valeur peut se trouver à plus d’un écart type de l’espérance.

Ajouter une constante à toutes les valeurs décale la moyenne mais ne modifie pas leurs écarts entre elles : V(X + b) = V(X). Multiplier toutes les valeurs par a multiplie chaque écart par a, donc la variance par a² et l’écart type par |a|. Ces résultats se déduisent directement de la définition et donnent un contrôle utile lors d’une transformation.