Entiers et booléens

Un bit peut prendre deux valeurs, 0 ou 1. Un octet regroupe huit bits. La mémoire conserve des suites de bits ; le programme décide comment les interpréter. La suite 00101101 peut ainsi représenter l’entier naturel 45 selon une convention non signée. Ajouter des zéros à gauche ne change pas cet entier, mais peut préciser la largeur du stockage.

En base dix, chaque position porte une puissance de dix. En base deux, les poids sont, de droite à gauche, 1, 2, 4, 8, 16, 32, puis les puissances suivantes de deux. On multiplie chaque bit par son poids et on additionne. L’indice indique la base : 101₂ vaut cinq, tandis que 101₁₀ vaut cent un. Ce ne sont pas les chiffres seuls qui donnent le nombre.

Pour convertir un entier naturel vers la base deux, effectue des divisions euclidiennes successives par deux, puis lis les restes du dernier au premier. Pour 13, les quotients successifs sont 6, 3, 1, 0 et les restes 1, 0, 1, 1. La lecture inversée donne 1101₂. L’autre méthode consiste à soustraire les plus grandes puissances de deux possibles.

La base seize utilise les chiffres 0 à 9, puis A, B, C, D, E, F pour dix à quinze. Comme seize vaut deux puissance quatre, un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits. On regroupe les bits par paquets de quatre depuis la droite, en complétant à gauche si nécessaire. Cela rend les longues écritures binaires plus lisibles sans changer la valeur représentée.

Avec n bits, il existe deux puissance n configurations. Pour des entiers naturels non signés, elles représentent les valeurs de 0 à 2ⁿ − 1 inclus. Sur huit bits, cela donne 256 valeurs mais une valeur maximale de 255. Il faut distinguer le nombre de valeurs possibles et le plus grand entier stockable. Les largeurs de 8, 16, 32 et 64 bits sont courantes.

Pour un entier strictement positif N, cherche le plus petit n tel que N soit inférieur à 2ⁿ. Par exemple, 31 tient sur cinq bits et 32 exige six bits. Zéro s’écrit habituellement avec le seul chiffre 0, même si un stockage matériel lui réserve plusieurs bits. Une largeur fixée s’annonce avant tout calcul : les limites dépendent de cette convention.

La somme de deux entiers non signés sur n bits peut demander n + 1 bits. Leur produit tient sur au plus 2n bits. Plus généralement, un produit de valeurs codées respectivement sur n et m bits tient sur au plus n + m bits. Ce sont des majorations ; le résultat concret peut demander moins. Par exemple, 15 + 1 = 16 exige cinq bits, alors que 15 × 15 = 225 en exige huit.

Dans une addition binaire, 1 + 1 donne 10₂ : on écrit 0 dans la colonne et on reporte 1 à gauche. Avec une retenue entrante, 1 + 1 + 1 donne 11₂. Ainsi 0111₂ + 0001₂ donne 1000₂. En non signé sur quatre bits, le résultat est huit ; il n’y a pas de débordement. Si seule la largeur disponible est conservée, une retenue finale peut être perdue.

Les entiers Python ne sont pas limités à 32 ou 64 bits : leur précision s’adapte, dans les limites des ressources disponibles. Un calcul Python exact ne prouve donc pas qu’un résultat tient dans un registre de huit bits. Pour répondre à une question de représentation, travaille d’abord avec le modèle de stockage demandé.

Le complément à deux sur n bits représente les entiers de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ − 1. Sur huit bits, l’intervalle est donc de −128 à 127. Le bit de gauche a le poids négatif −128, et les autres ont les poids positifs 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Ce bit indique le signe, mais les autres bits ne donnent pas simplement la valeur absolue.

Pour coder un entier négatif représentable, écris sa valeur absolue sur la largeur demandée, inverse tous les bits, puis ajoute un. Une autre méthode consiste à calculer 2ⁿ plus l’entier négatif, puis à coder ce résultat comme un entier non signé. Les deux méthodes donnent les mêmes bits. Pour décoder, lis la valeur non signée ; si le premier bit vaut 1, retranche 2ⁿ.

Les mêmes bits ont plusieurs lectures possibles : 11111111 vaut 255 en non signé et −1 en complément à deux sur huit bits. Le contexte est indispensable. En signé sur huit bits, 127 + 1 est hors de l’intervalle représentable ; les huit bits conservés sont 10000000, lus −128. Ce résultat ne signifie pas que l’égalité mathématique 127 + 1 = −128 serait vraie.

Une valeur booléenne est vraie ou fausse. En Python, elle s’écrit True ou False. Pour deux booléens a et b, a and b est vrai quand les deux le sont ; a or b est vrai quand au moins un l’est ; not a inverse la valeur de a. Le OU usuel est inclusif : il accepte aussi le cas où les deux entrées sont vraies.

Une table de vérité énumère toutes les combinaisons des entrées. Deux variables donnent quatre lignes ; trois en donnent huit. Ajoute des colonnes intermédiaires pour calculer progressivement une expression. Deux expressions sont équivalentes si leurs sorties coïncident sur toutes les lignes. Une seule ligne différente suffit à réfuter une équivalence. Avec des booléens, a != b exprime le OU exclusif.

Les opérateurs Python and et or sont évalués de gauche à droite avec arrêt possible. Si la première condition d’un and est fausse, la seconde n’est pas évaluée. Si la première condition d’un or est vraie, la seconde n’est pas évaluée. Ainsi, avec x numérique, (x != 0) and (10 / x > 2) évite la division par zéro lorsque x vaut zéro. Inverser ces deux tests supprimerait cette protection.

En première, tu construis les bases mobilisables si tu poursuis la spécialité NSI en terminale. Une réponse argumentée distingue la valeur mathématique, son codage et l’opération exécutée. Un résultat numérique seul ne montre pas que tu as compris cette distinction.

Pour poursuivre, ouvre S’entraîner dans le hub Exercices du site, à l’adresse /exercices.