Flottants et textes

Après la virgule en base deux, les positions portent les poids 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 et ainsi de suite. On calcule la valeur en additionnant les poids dont le bit vaut 1. Ainsi 0,01₂ représente un quart, donc 0,25 en décimal. L’écriture 0,1₂ représente un demi : la même suite de chiffres n’a pas la même valeur selon sa base.

Pour convertir la partie fractionnaire d’un nombre positif inférieur à un, multiplie-la par deux. La partie entière du résultat devient le prochain bit ; recommence avec la nouvelle partie fractionnaire. Si celle-ci devient nulle, la conversion s’arrête. Sinon, l’écriture continue. Pour 0,25, on obtient 0,5 puis 1 : les bits sont 0 puis 1, d’où 0,01₂.

Pour 0,1 en décimal, les parties fractionnaires successives sont 0,2, 0,4, 0,8, 0,6, puis de nouveau 0,2. Le cycle recommence : l’écriture binaire est 0,0001100110011…₂. Aucun nombre fini de positions binaires ne suffit. De même, un tiers s’écrit 0,010101…₂. Une écriture infinie en base deux n’empêche pas le nombre d’avoir une définition mathématique exacte.

Une fraction irréductible possède une écriture binaire finie lorsque son dénominateur est une puissance de deux. Le dénominateur 10 contient un facteur 5 : un dixième ne peut pas être une somme finie de puissances négatives de deux. À l’inverse, le dénominateur 8 convient. Cette propriété explique les cas rencontrés ; elle évite d’attribuer chaque écart à une panne de l’ordinateur.

Un nombre flottant utilise un signe, une significande contenant les chiffres significatifs et un exposant qui déplace la position de la virgule. En base deux, on peut écrire 6,5 = 1,101₂ × 2². Un format informatique réserve un nombre limité de positions : il représente un ensemble fini de valeurs, pas tous les nombres réels. Les détails d’une norme de stockage ne sont pas nécessaires pour comprendre cette limitation.

Sur le dessin, les deux axes ont la même échelle. Le point vert du premier représente 2/16 = 0,125 ; celui du second représente 3/32 = 0,09375. La verticale orange est à 0,1. Avec une grille plus fine, une valeur représentable peut se rapprocher du nombre recherché. La valeur stockée reste distincte de ce nombre exact. Il s’agit ici de grilles simples pour comprendre l’arrondi.

Les flottants d’un programme introduisent généralement des arrondis lors de la conversion des données et des opérations. Un affichage court peut cacher l’écart : voir 0.1 à l’écran ne prouve pas que le stockage représente exactement un dixième. L’écart n’est pas toujours gênant, mais il peut changer le résultat d’un test d’égalité ou s’accumuler dans une suite d’opérations.

Le bon seuil dépend de l’unité et du problème. Un écart de 0,01 m représente un centimètre ; le même nombre en kilomètres représente dix mètres. Pour comparer des grandeurs d’ordres très différents, une tolérance relative peut compléter une tolérance absolue. La fonction math.isclose propose cette possibilité ; près de zéro, une tolérance absolue positive peut être nécessaire. Ne confonds pas proximité numérique et égalité mathématique.

Il reste possible de comparer exactement des entiers. Pour compter des objets, on utilise un entier, pas un flottant. La question pertinente est donc le type de donnée et la précision nécessaire. Évite aussi de piloter une boucle par l’égalité exacte entre une somme répétée de flottants et une valeur cible : un compteur entier puis un calcul de la valeur correspondante rend le nombre d’étapes explicite.

Un texte n’est pas stocké comme une image des lettres. Il faut associer des nombres aux caractères puis représenter ces nombres par des octets. Le caractère est l’élément du texte ; le glyphe est sa forme dessinée à l’écran. Une police change l’apparence, tandis qu’un encodage détermine les octets enregistrés. Changer de police ne corrige donc pas un fichier décodé avec la mauvaise convention.

ASCII définit 128 codes, représentables sur sept bits, pour des caractères de contrôle, les chiffres, des signes et les lettres latines non accentuées. Dans un fichier courant, un caractère ASCII occupe un octet. Il ne suffit pas pour écrire directement é. ISO-8859-1, souvent nommé Latin-1, utilise un octet et permet notamment de représenter plusieurs caractères accentués des langues d’Europe occidentale. Il ne couvre pas toutes les écritures.

Unicode associe des points de code à un vaste répertoire de caractères. La notation U+00E9 désigne le point de code du caractère é précomposé. Unicode n’impose pas que chaque caractère occupe un octet. UTF-8 est un encodage de ce répertoire : il emploie de un à quatre octets par point de code et conserve les octets ASCII pour les caractères correspondants.

La figure compare un seul caractère. En Latin-1, é correspond à l’octet E9 en hexadécimal, soit 11101001₂. En UTF-8, il correspond aux deux octets C3 A9, soit 11000011₂ puis 10101001₂. Le nombre de caractères et le nombre d’octets sont donc deux mesures différentes. Pour un texte composé uniquement de caractères ASCII, UTF-8 utilise un octet par caractère.

Une lettre accentuée visible peut aussi être décrite par une lettre suivie d’un signe combinant. Compter les points de code ne revient donc pas toujours à compter les symboles visibles. Dans les exemples de cette leçon, é est toujours le caractère précomposé U+00E9. Cette précision permet de comparer les encodages sans mélanger des représentations Unicode différentes.

Encoder transforme un texte en octets selon une convention. Décoder transforme des octets en texte selon la convention annoncée. Pour convertir un fichier, il faut d’abord connaître son encodage de départ. Une suite d’octets seule peut être ambiguë : l’extension .txt ne suffit pas à identifier l’encodage. Cherche les informations fournies avec le fichier ou par le logiciel qui l’a créé.

Si tu décodes les octets UTF-8 C3 A9 comme du Latin-1, tu obtiens les deux caractères visibles é, pas é. À l’inverse, E9 seul n’est pas une séquence UTF-8 complète et valide. Un message d’erreur ou un texte étrange invite à vérifier l’encodage déclaré. Évite de remplacer automatiquement les caractères inconnus avant d’avoir identifié la cause : cette opération peut rendre la perte irréversible.

Ces connaissances de première préparent la poursuite en spécialité NSI. Une réponse attendue doit expliquer ce que le programme manipule et ce que l’observation permet réellement de conclure. La comparaison d’octets et l’analyse d’un arrondi sont deux démarches différentes.

Pour poursuivre, ouvre S’entraîner dans le hub Exercices du site, à l’adresse /exercices.