Mesurer avec incertitude

Avant de mesurer, définis la grandeur recherchée et les conditions. Chronométrer une oscillation n’est pas chronométrer dix oscillations, et relever une tension à vide n’est pas la relever dans un circuit chargé. Un protocole précise l’instrument, son réglage et les étapes. Répéter une mesure signifie reprendre des déterminations indépendantes dans des conditions comparables. Copier plusieurs fois la même valeur affichée sans nouvelle acquisition ne crée pas une série de mesures indépendantes.

Les petites différences d’une série peuvent provenir de phénomènes variables, comme le déclenchement d’un chronomètre. D’autres effets déplacent toutes les mesures dans le même sens : mauvais zéro, instrument mal étalonné ou méthode inadaptée. Une faible dispersion ne prouve donc pas l’absence de biais. Répéter améliore la connaissance des fluctuations ; cela ne corrige pas automatiquement un défaut commun à toutes les mesures. Il faut examiner le protocole autant que les nombres obtenus.

Un histogramme regroupe les mesures dans des intervalles appelés classes. Il permet de voir leur répartition, leur dispersion et d’éventuelles valeurs isolées. Pour comparer visuellement les hauteurs, on utilise ici des classes de même largeur. Le choix des classes influence l’aspect du graphique : des classes trop larges cachent les détails, des classes trop fines fragmentent la série. Une valeur isolée se vérifie dans le cahier de mesure ; elle ne se supprime pas parce qu’elle gêne le résultat attendu.

La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par leur nombre N. L’écart-type décrit la dispersion autour de cette moyenne. Il possède la même unité que la grandeur mesurée. Dans cette leçon, s désigne l’écart-type expérimental calculé avec le dénominateur N − 1. Une calculatrice peut proposer aussi un écart-type avec N : les deux commandes ne sont pas identiques. Indique la convention employée et conserve les chiffres intermédiaires utiles.

Une incertitude-type caractérise la dispersion des valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée, à partir des informations disponibles. On la note u et elle s’exprime dans l’unité de la grandeur. Elle n’est ni une erreur connue que l’on retranche, ni une preuve que la valeur vraie se trouve obligatoirement entre deux bornes. Le mot « type » indique une caractérisation par un écart-type ; l’évaluation dépend du modèle et des informations retenus.

L’évaluation de type A utilise une analyse statistique de mesures. Si l’on retient la moyenne de N mesures indépendantes et comparables, la contribution statistique à son incertitude-type est u = s/√N. L’écart-type s décrit les valeurs individuelles ; u décrit ici l’estimation moyenne. Augmenter N diminue cette contribution si les conditions restent valables. Cela ne fait pas disparaître une erreur de réglage et ne signifie pas que toute l’incertitude d’une expérience est divisée par √N.

L’évaluation de type B repose sur d’autres informations : caractéristiques du fabricant, résolution d’une graduation ou connaissances sur le protocole. Il faut préciser le modèle. Si l’on suppose que la valeur peut se situer uniformément dans un intervalle de demi-largeur a autour de l’estimation, on utilise u = a/√3. Cette expression n’est pas une règle à appliquer à tout appareil. Si une notice fournit directement une incertitude-type, on utilise cette information selon son sens.

Pour une graduation de pas d, un modèle de lecture limité à une demi-graduation de chaque côté donne a = d/2, donc u = d/√12. Il ne prend en compte que cette contribution. Une règle mal alignée, une origine décalée ou l’épaisseur d’un trait peuvent imposer une autre analyse. Dans un exercice, lis soigneusement la définition de la borne fournie : une largeur totale et une demi-largeur diffèrent d’un facteur deux.

Un résultat de mesure complet indique la valeur retenue, l’unité et l’incertitude-type, accompagnées de la méthode d’évaluation. Les derniers chiffres de la valeur doivent être cohérents avec le rang décimal de l’incertitude. Des décimales supplémentaires affichées par la calculatrice ne rendent pas l’instrument plus précis. On conserve davantage de chiffres pendant les calculs, puis on arrondit le résultat final. Si l’exercice impose une convention, elle guide cette présentation.

La comparaison à une référence reste qualitative ici. Un écart petit devant l’échelle de l’incertitude appelle une autre interprétation qu’un écart très grand devant celle-ci. Il faut aussi connaître la qualité de la référence et les conditions de validité de la comparaison. On ne conclut pas « égalité prouvée » parce que deux valeurs sont proches. Une différence importante conduit à examiner l’unité, la méthode, le réglage, les conditions et le modèle utilisé.

Une incertitude n’est pas une justification universelle. Si une valeur calculée est mille fois trop grande après une mauvaise conversion, augmenter arbitrairement u ne répare pas le raisonnement. Inversement, un résultat différent de la valeur attendue ne se remplace pas par celle-ci. Le compte rendu doit conserver les observations et expliquer les vérifications envisagées. Cette transparence permet à un autre groupe de comprendre et, si nécessaire, de reproduire la démarche.

Dans un tableur, place chaque mesure avec son unité dans une colonne, conserve les observations de manipulation et calcule la moyenne. Utilise la fonction d’écart-type correspondant à la convention expérimentale. Pour l’histogramme, choisis des classes explicites et vérifie que la somme des effectifs est égale au nombre de mesures. Un graphique dont les axes ou les unités manquent ne permet pas une interprétation fiable. Le fichier doit conserver les mesures initiales, pas seulement les valeurs arrondies.

Améliorer une mesure demande de viser la cause de la limitation. Un instrument mieux adapté peut réduire une contribution liée à la lecture ; une acquisition automatisée peut réduire certaines fluctuations de déclenchement ; un contrôle du zéro peut détecter un décalage. Ces actions n’ont pas toutes le même effet. Justifie l’amélioration par le problème observé plutôt que par une formule générale affirmant qu’un appareil plus coûteux serait toujours meilleur.

Pour t’entraîner, reprends un compte rendu et vérifie ce que chaque nombre décrit. Le hub Exercices du site donne accès à l’espace S’entraîner.